2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的综合应用 数列的综合应用问题既能考查学生的潜能 又具有较强的区分度 创新应用问题选材也可以用数列为背景 在近几年的高考试题中 在解答题中 有关数列的试题出现的频率较高 不仅可与函数 方程 不等式相关联 还可与三角 几何 复数等知识相结合 题目新颖 难度较大 对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高 学生面对问题时的心理压力也较大 在复习中要重视紧扣等差 等比数列的性质和定义 做到合理地分析 灵巧地选择公式或性质 找到解决问题的突破口与思路 本节内容在高考中主要考查等差 等比的综合问 题 递推与求和的综合 数列与其他知识的综合 数列实际应用 数列是特殊的函数 而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具 三者的综合求解是对基础和能力的双重检验 而三者的证明题是近几年来高考热点 一般情况下 本节内容无论是选择题 填空题还是解答题中都是以中档题与难题为主 难度较大 数列的综合应用通常有三种的类型 1 数列知识范围内的综合应用 1 等差 等比数列以及递推数列之间的综合应用 2 紧扣等差 等比数列的定义和性质 作出合理的分析 灵巧地选择公式或性质解决问题 2 数列的实际应用问题 1 构造等差 等比数列的模型 然后利用数列的通项公式和求和公式求解 2 通过归纳得到结论 再用数列知识求解 运用数列知识解决实际应用问题时 应在认真审题的基础上 认清问题的那一部分是数列问题 又是哪种数列 等差数列 等比数列 的问题 在a d 或q n an Sn中哪些量是已知的 哪些量是待求的 特别是 认准项数n为多少 充分运用 观察 归纳 猜想 证明 的方法 建立等差 比 数列 递推数列的模型 再综合利用其他相关知识来解决问题 3 数列与其他分支知识的综合应用 1 主要为数列与函数 方程 不等式 三角等高考重点知识的综合 2 解决有关此类综合问题时 首先要认真审题 弄清题意 分析出涉及哪些数学分支内容 在每个分支中各是什么问题 其次 要精心分解 把整个大题分解成若干个小题或若干步骤 使它们成为在各自分 支中的基本问题 最后 分别求解这些小题或步骤 从而得到整个问题的结论 1 2011年房山区期末 已知数列 an 的通项公式an log2 n N 设其前n项和为Sn 则使Sn 4成立的自然数n有 A 最大值15 B 最小值15 C 最大值16 D 最小值16 解析 由已知 Sn log2 log2 log2 log2 log2 log215且n N n的最小值为16 答案 D 2 2011年范水高中高三数学期末考试 某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是p1 第三年比第二年增长的百分率为p2 若p1 p2 m 定值 则年平均增长的百分率的最大值是 解析 设年平均增长的百分率为p 可知 1 p 2 1 p1 1 p2 2 1 p 1 p p的百分率的最大值是 答案 3 2011年石景山一模理14 函数y x2 x 0 的图象在点 an 处的切线与x轴交点的横坐标为an 1 n N 若a1 16 则a3 a5 数列 an 的通项公式为 解析 由导数的几何意义可知 k 2x 2an 所以切线方程为y 2anx 切线与x轴交点的横坐标0 2anan 1 可得an 1 an a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a3 a5 5 an 1 an an 是以16为首项 为公比的等比数列 an 16 n 1 25 n 答案 525 n 4 某单位用3 2万元买了一台工作设备 已知该设备从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为元 n N 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少 为止 一共使用了 A 600天 B 800天 C 1000天 D 1200天 解析 由第n天的维修保养费为元 n N 可以得出整个耗资费用 由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时取得最小值 此时n 800 答案 B 题型1等差数列与等比数列的综合题 例1 2011年浙江卷 已知公差不为0的等差数列 an 的首项a1为a a R 设数列的前n项和为Sn 且 成等比数列 1 求数列 an 的通项公式及Sn 2 记An Bn 当n 2时 试比较An与Bn的大小 分析 1 抓住数列中的项的两重身份 由等比中项求出等差数列的公差 从而求出其通项公式与前n项和Sn 2 由 1 求出的通项公式 利用裂项相消法求An 利用公式法求Bn 利用二项式定理判断An与Bn的大小 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由 2 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因为d 0 所以d a 所以an na Sn 2 因为 所以An 1 因为 2n 1a 所以Bn 1 当n 2时 2n n 1 即1 1 所以当a 0时 An Bn 当aBn 点评 等差数列 等比数列是两种特殊数列 在处理等差数列与等比数列的综合题时 要注意灵活运用它们的定义 性质 对于等比数列还要注意对公比的讨论 变式训练1已知等差数列 an 的前n项和为Sn 公差d 0 且S3 S5 50 a1 a4 a13成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若从数列 an 中依次取出第2项 第4项 第8项 第2n项 按原来顺序组成一个新数列 bn 记该数列的前n项和为Tn 求Tn的表达式 2 由已知得 bn 2 2n 1 2n 1 1 Tn b1 b2 bn 22 23 2n 1 n n 2n 2 4 n 解析 1 依题意得解得 an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 题型2数列与函数 方程 不等式的综合应用 例2已知二次函数f x x2 m 2 x m 2 x R 同时满足 不等式f x 0的解集有且只有一个元素 在定义域内存在x1 x2 使得x1 x2 0 但f x1 f x2 设数列 an 的前n项和Sn f n 1 求f x 的表达式 2 求数列 an 的通项公式 分析 由不等式f x 0的解集有且只有一个元素 可得 0 再由Sn可得an 解析 1 f x 0的解集有且只有一个元素 m 2 2 4 m 2 0 m 2或m 2 当m 2时 函数f x x2是一个偶函数 故不存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 当m 2时 函数f x x2 4x 4 在定义域内存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 故f x x2 4x 4 2 由 1 可知Sn n2 4n 4 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 4n 4 n 1 2 4 n 1 4 2n 5 an 点评 以函数知识为背景 以数列知识为辅 考查学生对知识的综合把握 符合高考题在知识的交汇处出题的特点 变式训练2 江西省南康中学2011届下学期高三理科数学二轮专题复习 已知函数f x x R 点P1 x1 y1 P2 x2 y2 是函数f x 图象上的两个点 且线段P1P2的中点P的横坐标为 1 求证 点P的纵坐标是定值 2 若数列 an 的通项公式为an f m N n 1 2 m 求数列 an 的前m项Sm 解析 1 由题可知 x1 x2 2 1 所以y1 y2 f x1 f x2 点P的纵坐标yp 是定值 问题得证 2 由 1 可知 对任意自然数m n f f 恒成立 由于Sm f f f f f 故可利用倒序求和的方法 Sm f f f f f Sm f f f f f 2Sm f f f f f f 2f m 1 2f 1 3m 1 所以Sm 3m 1 例3 2011年湖南卷 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M M的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初M的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初M的价值为上年初的75 题型3数列在实际问题中的应用 1 求第n年初M的价值an的表达式 2 设An 若An大于80万元 则M继续使用 否则须在第n年初对M更新 证明 须在第9年初对M更新 分析 分析理解题意 与等差 等比数列的定义相联系 注意分类讨论求数列的和 借助数列的单调性求范围 解析 1 当n 6时 数列 an 是首项为120 公差为 10的等差数列 an 120 10 n 1 130 10n 当n 6时 数列 an 是以a6为首项 公比为的等比数列 又a6 70 所以 an 70 n 6 因此 第n年初 M的价值an的表达式an 2 设Sn表示数列 an 的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得 当1 n 6时 Sn 120n 5n n 1 An 120 5 n 1 125 5n 当n 7时 Sn S6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n6 An 因为 an 是递减数列 所以 An 是递减数列 又 A8 82 80 A9 76 80 所以须在第9年初对M更新 点评 在实际问题中 常出现等差数列或等比数列模型 利用所学到的等差 等比数列的知识便可使问题顺利解决 数列是特殊的函数 从而常与函数的特性联系起来 变式训练3某油库已储油料a吨 按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25 以后每年的进油量为上一年底储油量的25 且每年运出b吨 设an为正式运营后第n年的储油量 1 写出an的表达式 不要求证明 2 为抵御突发事件 该油库年底储油量不得少于a吨 如果b a 该油库能否长期按计划运营 如果可以 请加以证明 如果不行 请说明理由 取lg2 0 30 lg3 0 48 解析 1 依题意 油库原有储油量为a吨 则 a1 a b a2 a1 b 2a 1 b a3 a2 b 3a 2 1 b 猜想 an na n 1 n 2 1 b na 4 n 1 b n N 2 当b a时 该油库第n年年底储油量不少于a吨 即 na 4 n 1 a a 即 n 3 n lo3 4 8 所以不能长期运营 1 等差 等比数列是基本数列 往往结合实际问题出题 并与递推公式相联系 主要应用函数与方程 分类讨论 化归 整体等思想来 解题 2 在解数列应用题时 要重视建模的方法 将实际问题转化为数列问题 3 探索型问题是高考数列题中的重要题型之一 该问题有两种形式 其一是不知结论 经过自己去探索 发现 从而得到结论 思维过程是 观察 分析 归纳 猜想 证明 其二是 存在性 问题 解题思路是 假设满足条件的对象存在 在此基础上 寻找出对象存在的条件 从而肯定假设 或推导出矛盾 从而推翻假设 得出结论