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讲义三:第二章 极限、导数与微分一、 极限概念1.数列的极限问题引入:黄金首饰有纯金的吗?1黄金: ()2杂质: ()3长度的一半 ()4自然数的倒数 ()结论:1。无穷大的倒数趋近于 2如上例1 、2、 3 所示:数列在时,无限趋近于某个固定的常数,则称数列以为极限, 记为 如 此时也称数列收敛。否则发散,如:1 -1 1 -1 。2.函数极限记住以下符号的意思:表示x越来越小,即一直向数轴的左边取值,;:表示x越来越大,即一直向数轴的右边取值,;:表示x的绝对值越来越大,即x的取值同时向数轴的左右两边扩散,;:表示x的取值无限靠近一个数,;:表示x的取值从比小的方向(即左边)无限靠近一个数;:表示x的取值从比大的方向(即右边)无限靠近一个数.极限当发生以上某种变化趋势时,函数值无限靠近的一个常数A称为此时的极限,分别记为其中后两个分别叫做左极限和右极限。1) 时本质上和数列极限时一致的,故 注意: 解题技巧:(1);,和不存在(摇摆型的)。(2)对于分段函数(即有大括号“”出现的函数),在分段点处的极限要考虑左右极限,而。例:书p.63.例11二、求极限的方法1. 四则运算法(1)有关法则: 1)和的极限=极限和:例:练习:2)积的极限=极限的积: 商的极限=极限的商:例:22练习: 3)常数可提出: 4)n方的极限=极限的n方:练习: (2)解题步骤:1)当时,把代入中,例1:练习: 例2:常考题型1). :练习1: 练习2: 2). 练习: 2) 时,若附:求极限的公式:,即当“上小零,上大无穷”,“上下相等”=首个系数比!例如 练习: 1、_;2、_)注意:碰到极限,首先考虑以上方法;2.重要极限法(1). 第一个重要极限 例1: 思考 练习1: 例2: 求极限解: 1 练习2: 练习3: 注意: (2). 第二个重要极限或用该极限的条件: 指数 ,底为1+非1项,即 ; 指数与非1项 互为倒数 例1: 例2: 练习: 3无穷小量性质法(1)无穷小的定义极限为0的函数例: ,所以时,为无穷小量; ,所以时,为无穷小量; ,所以时,为无穷小量;(2)性质:无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量例:练习1:书p.65. T2 (4) ,T6,练习2:已知,当( )时,为无穷小。(07,09年) A B C D 练习3:三、函数的连续性定义:若 则称函数在处连续。否则,称为间断点。(通常使分母为0的点是间断点)常见题型:(05年)(06年)4(07年)已知若在(-,+)内连续,则= (07年)5函数的间断点是 教案
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