归纳推理和类比推理 哥德巴赫猜想 世界近代三大数学难题之一 1742年 哥德巴赫在教学中发现 每个不小于6的偶数都是两个素数 只能被1和它本身整除的数 之和 如6 3 3 12 5 7等等 猜想 a 任何一个 6之偶数 都可以表示成两个奇质数之和 b 任何一个 9之奇数 都可以表示成三个奇质数之和 有人对33 108以内且大过6之偶数一一进行验算 哥德巴赫猜想 a 都成立 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的 称为陈氏定理 Chen sTheorem 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和 而后者仅仅是两个质数的乘积 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 1 2 的形式 1920年 挪威的布朗证明了 9 9 1924年 德国的拉特马赫证明了 7 7 1932年 英国的埃斯特曼证明了 6 6 200年过去了 没有人证明它 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 明珠 到了20世纪20年代 才有人开始向它靠近 1637年 法国数学家费马提出 将一个立方数分为两个立方数的和 一个四次幂分为两个四次幂的和 或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂的和 这是不可能的 费马猜想 数论中最著名的世界难题之一 300多年来 这个问题吸引了很多优秀数学家 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解 德国也于1908年悬赏十万马克征解 经过三百多年来历代数学家的不断努力 剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题 1852年 弗南西斯 格思里搞地图着色工作时 发现了一种有趣的现象 看来 每幅地图都可以用四种颜色着色 使得有共同边界的国家着上不同的颜色 世界近代三大数学难题之一 四色猜想 1976年 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上 用了1200个小时 作了100亿判断 终于完成了四色定理的证明 不少数学家并不满足于计算机取得的成就 他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 归纳推理 部分整体 个别一般 不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严格的证明 但它可以为我们的研究提供一种方向 归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法 例1 已知数列 an 的第1项a1 1 且 n 1 2 试归纳出这个数列的通项公式 分别把n 1 2 3 4代入得 归纳 可用数学归纳法证明这个猜想是正确的 取倒数得 解法2 构造法 例2 如图 在圆内画一条线段 将圆分成两部分 画两条线段 彼此最多分割成4条线段 同时将圆分割成4部分 画三条线段 彼此最多分割成9条线段 同时将圆分割成7部分 那么 1 在圆内画四条线段 彼此最多分割成条线段 同时将圆分割成部分 2 猜想 圆内两两相交的n n 2 条线段 彼此最多分割成条线段 同时将圆分割成部分 累加得 例3 有三根针和套在一根针上的若干金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动一个金属片 2 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 试推测 把n个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动多少次 n 1时 n 2时 n 1时 n 3时 n 2时 n 1时 n 2时 n 1时 n 3时 n 4时 n 3时 n 2时 n 1时 n 4时 n 3时 n 2时 n 1时 归纳 例 数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 求通项公式an an 1 1 2 an 1 数列 an 1 是首项为2公比为2的等比数列 构造法 2004春季上海 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第n个图形中有个点 1 2 3 4 5 练习 2005年广东 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 累加得 2001年上海 已知两个圆 x2 y2 1 与 x2 y 3 2 1 则由 式减去 式可得上述两圆的对称轴方程 将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广 即要求得到一个更一般的命题 而已知命题应成为所推广命题的一个特例 推广的命题为 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2与 x c 2 y d 2 r2 a c或b d 则由 式减去 式可得上述两圆的对称轴方程 小结 2 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 1 什么是归纳推理 简称归纳 部分整体 个别一般 练习 1 已知数列 an 的前n项和Sn 且计算S1 S2 S3 S4 并猜想Sn的表达式 猜想 计算得 复习 2 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 1 什么是归纳推理 部分整体 特殊一般 1 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿 发明了锯 2 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理 发明了潜水艇 3 科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 1 火星也绕太阳运行 饶轴自转的行星 2 有大气层 在一年中也有季节变更 3 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 等等 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 4 利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称 类比 类比推理的几个特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性 是以旧有的认识为基础 类比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的不一定可靠 但它却有发现的功能 类比推理 圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 距圆心较近的弦较长 以点 x0 y0 为圆心 r为半径的圆的方程为 x x0 2 y y0 2 r2 圆心与弦 非直径 中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 圆面 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等 距球心较近的面积较大 以点 x0 y0 z0 为球心 r为半径的球的方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 球的表面积 圆的周长 圆的面积 若 则 若 则 利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 利用等差数列性质类比等比数列性质 n m p q时 am an ap aq n m p q时 aman apaq 任意实数a b都有等差中项 为 当且仅当a b同号时才有等比中项 为 成等差数列 成等比数列 下标等差 项等差 下标等差 项等比 例1 2003年新课程 在平面几何里 有勾股定理 设 ABC的两边AB AC互相垂直 则AB2 AC2 BC2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥A BCD的三个侧面ABC ACD ADB两两互相垂直 则 图 1 图 2 平面与空间中的余弦定理 平面 三角形ABC中 空间 四面体A BCD中 设二面角B AC D C AD B D AB C的大小依次为 例2 2005年全国 计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制 采用数字0 9和字母A F共16个计数符号 这些符号与十进制的数的对应关系如下表 例如用16进位制表示 1 则 E 归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 合情推理 作业P93 94A组5 B组