导数的应用 导数的应用举例1 解 1 由已知f x 3x2 x 2 2 命题等价于f x 在 1 2 上的最大值小于m f 2 7 f x 在 1 2 上的最大值为7 7 m 故实数m的取值范围是 7 导数的应用举例2 解 1 函数f x 的定义域为 1 当a0 f x 在 1 上为增函数 当a 0时 令f x 0得 1 x 4a2 1 令f x 0得x 4a2 1 当a 0时 f x 在 1 4a2 1 上为减函数 在 4a2 1 上为增函数 综上所述 当a 0时 f x 的单调递增区间为 1 当a 0时 f x 的单调递减区间为 1 4a2 1 单调递增区间为 4a2 1 导数的应用举例2 由 1 知g x 在 1 3 上为减函数 2 ln4 0 g x g 3 0 在 3 上为增函数 导数的应用举例3 解 1 由已知f x x2 4ax 3a2 0 a 1 a 3a 令f x 0得x a或x 3a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 f x 的单调递增区间是 a 3a 单调递减区间是 a 和 3a 当x a时 f x 取极小值f a 当x 3a时 f x 取极大值f 3a b 导数的应用举例3 解 2 0 a 1 2a a 1 f x max f a 1 2a 1 f x x2 4ax 3a2在 a 1 a 2 上为减函数 f x min f a 2 4a 4 当x a 1 a 2 时 恒有 f x a 即 a f x a恒成立 4a 4 a且2a 1 a 又0 a 1 故a的取值范围是 已知函数f x ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值 曲线y f x 过原点和点P 1 2 若曲线f x 在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 1 求f x 的解析式 2 若f x 在区间 2m 1 m 1 递增 求m的取值范围 导数的应用举例4 解 1 曲线y f x ax3 bx2 cx d过原点 f 0 0 d 0 f x ax3 bx2 cx f x 3ax2 2bx c 函数f x ax3 bx2 cx在x 0处取得极值 f 0 0 c 0 过点P 1 2 的切线斜率为f 1 3a 2b 而曲线f x 在点P的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 解得f 1 3 又f 1 2 3a 2b 3且 a b 2 解得a 1 b 3 f x x3 3x2 已知函数f x ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值 曲线y f x 过原点和点P 1 2 若曲线f x 在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 1 求f x 的解析式 2 若f x 在区间 2m 1 m 1 递增 求m的取值范围 导数的应用举例4 解 2 由 1 知f x 3x2 6x 又由f x 0 x0 f x 的单调递增区间为 2 和 0 函数f x 在区间 2m 1 m 1 递增 2m 12m 1 0 2m 1 m 1 2 或 2m 1 m 1 0 导数的应用举例5 解 1 由已知f x 3x2 2ax 3 f x 在区间 1 上是增函数 在 1 上恒有f x 0 即3x2 2ax 3 0在 1 上恒成立 解得a 0 故实数a的取值范围是 0 由于f 0 3 0 f x 3x2 8x 3 在 1 4 上 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 在 1 4 上的最大值是f 1 6 3 函数g x 与f x 的图象恰有三个交点 即方程x3 4x2 3x bx恰有三个不等实根 解得a 4 x 0是方程一个的根 方程x2 4x 3 b即x2 4x 3 b 0有两个非零不等实根 16 4 3 b 0且3 b 0 解得b 7且b 3 故实数b的取值范围是 7 3 3 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 导数的应用举例6 解 1 f x x2eax f x 2xeax x2eax a ax2 2x eax a 0 对函数f x 的单调性可讨论如下 当a 0时 由f x 0得x 0 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 导数的应用举例6 解 2 由 1 知当a 0时 f x 在区间 0 1 上为增函数 当a 0时 f x 在区间 0 1 上的最大值为f 1 1 当 2 a 0时 f x 在区间 0 1 上为增函数 当a 2时 f x 在区间 0 1 上的最大值为 当a 2时 f x 在区间 0 1 上先增后减 当 2 a 0时 f x 在区间 0 1 上的最大值为f 1 ea 导数的应用举例7 证 1 x e2 当x 1时 g x 0 g x 在 1 上为增函数 又g x 在x 1处连续 f x lnx 2 只要证明x 2 lnx 2 lnx g x g 1 0 导数的应用举例7 证 2 由 1 知对任意的x 1 h x 在 1 上为减函数 0 h x h 1 0 对任意的x 1 都有 导数的应用举例8 1 m x n 2 x2 mx mn x x m mn 0 导数的应用举例8 1 m n 2 x m n 2 导数的应用举例8 对任意的x1 x2 m n 有 导数的应用举例9 解 1 设平均成本为y 元 当且仅当x 1000时取等号 故要使平均成本最低 应生产1000件产品 令L 0得x 6000 当x0 当x 6000时 L 0 当x 6000时 L取得最大值 故要使利润最大 应生产6000件产品 导数的应用举例10 解 设每月生产x吨的利润为y元 则x 0 且 x 200 200舍去 在 0 上只有一个点x 200使y 0 它就是最大值点 且最大值为 3150000 元 故每月生产200吨产品时利润最大 最大利润是315万元 导数的应用举例11 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元 以下称s为赔付价格 1 将乙方的年利润w 元 表示为年产量t 吨 的函数 并求出乙方获得最大利润的年产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y 0 002t2 元 在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格最大是多少 解 1 赔付价格为s元 吨 乙方实际年利润 另解 赔付价格为s元 吨 乙方实际年利润 当t0 当t t0时 w 0 当t t0时 w取得最大值 2设甲方净收入为v元 则v st 0 002t2 令v 0得s 20 当s0 当s 20时 v 0 当s 20时 v取得最大值 故甲方应向乙方要求的赔付价格为20元 吨 某地政府为科技兴市 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区 导数的应用举例12 已知AB BC OA BC 且AB BC 2AO 4km 曲线段OC是以O为顶点且开口向右的抛物线的一段 如果要使矩形的相邻两边分别落在AB BC上 且一个顶点落在曲线段OC上 问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大 并求出最大的用地面积 精确到0 1km2 解 以O为原点 OA所在直线为y轴 建立直角坐标系 如图所示 依题意可设抛物线方程为y2 2px p 0 且C 4 2 22 2p 4 2p 1 曲线段OC的方程为y2 x 0 x 4 y 0 9 5 当x 0时 S 8 9 5 Smax 9 5 km2 最大面积约为9 5km2