导数的概念及运算 一 复习目标 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 掌握函数y xn n N 的导数公式 会求多项式函数的导数 二 重点解析 导数的几何意义是曲线的切线的斜率 导数的物理意义是某时刻的瞬时速度 无限逼近的极限思想是建立导数概念 用导数定义求函数的导数的基本思想 导数的定义 利用定义求导数的步骤 1 求 y 三 知识要点 f x0 或y x x0 即 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率k 即 k tan f x0 2 导数的意义 1 几何意义 2 物理意义 函数S s t 在点t0处的导数s t0 就是当物体的运动方程为S s t 时 物体运动在时刻t0时的瞬时速度v 即 v s t0 1 导数的概念 3 几种常见函数的导数 1 c 0 c为常数 xn nxn 1 n Q 4 如果f x g x 有导数 那么 f x g x f x g x f x g x f x g x cf x cf x 典型例题1 解 1 y 3x3 6x y 3x3 6x 求下列函数的导数 1 y 3x x2 2 2 y 2 x3 2 2 y 4 4x3 x6 3 y x 1 2x2 1 4 y 2x2 3 3x 2 9x2 6 y 4 4x3 x6 12x2 6x5 3 y 2x3 2x2 x 1 y 6x2 4x 1 4 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 典型例题2 已知f x 的导数f x 3x2 2 a 1 x a 2 且f 0 2a 若a 2 求不等式f x 0的解集 解 f x 3x2 2 a 1 x a 2 可设f x x3 a 1 x2 a 2 x b f 0 2a b 2a f x x3 a 1 x2 a 2 x 2a x2 x a x x a 2 x a x a x2 x 2 x 1 x 2 x a 令 x 1 x 2 x a 0 由于a 2 则 当a 2时 不等式f x 0的解集为 1 当a 2时 不等式f x 0的解集为 1 2 a 典型例题3 已知曲线C y x3 3x2 2x 直线l y kx 且直线l与曲线C相切于点 x0 y0 x0 0 求直线l的方程及切点坐标 点 x0 y0 在曲线C上 y0 x03 3x02 2x0 又y 3x2 6x 2 在点 x0 y0 处曲线C的切线斜率k y x x0 x02 3x0 2 3x02 6x0 2 整理得2x02 3x0 0 注有关曲线的切线问题 可考虑利用导数的几何意义 曲线C在某一定点处的切线是唯一的 因此斜率也是唯一的 若存在的话 采用斜率相等这一重要关系 往往都可解决这类问题 典型例题4 它在P处的切线斜率k1 2 典型例题5 求曲线y x3 3x2 5过点M 1 1 的切线方程 解 由y x3 3x2 5知y 3x2 6x 设切点为P x0 y0 则 y x x0 3x02 6x0 曲线在点P处的切线方程为 y y0 3x02 6x0 x x0 又切线过点M 1 1 1 y0 3x02 6x0 1 x0 即y0 3x03 3x02 6x0 1 而点P x0 y0 在曲线上 满足y0 x03 3x02 5 x03 3x02 5 3x03 3x02 6x0 1 整理得x03 3x0 2 0 解得x0 1或x0 2 切点为P 1 1 或P 2 1 故所求的切线方程为9x y 10 0或y 1 课后练习1 求下列函数的导数 1 y x2 1 x 2 2 y x 1 x3 2x 6 解 1 y x3 2x2 x 2 y x3 2x2 x 2 2 y x4 x3 2x2 4x 6 3x2 4x 1 y x4 x3 2x2 4x 6 4x3 3x2 4x 4 课后练习2 一质点作直线运动 它所经过的路程S 单位 m 和时间t 单位 s 的关系是S 3t2 t 1 1 求 2 2 01 这段时间内质点的平均速度 2 当t 2时的瞬时速度 解 1 S 3 2 012 2 01 1 3 22 2 1 0 1303 13 03 m s 2 v S 6t 1 v t 2 13 即当t 2时 质点运动的瞬时速度为13m s 课后练习3 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图象都过点P 2 0 且在点P处有公共切线 求f x g x 的表达式 解 f x 2x3 ax的图象过点P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的图象也过点P 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 综上所述 f x 2x3 8x g x 4x2 16 课后练习4 如果曲线y x3 x 10的某一切线与直线y 4x 3平行 求切点坐标与切线方程 解 切线与直线y 4x 3平行 切线斜率为4 又切线在x0处斜率为y x x0 3x02 1 4 x0 1 当x0 1时 y0 8 当x0 1时 y0 12 切点坐标为 1 8 或 1 12 切线方程为y 4x 12或y 4x 8 x3 x 10 x x0 3x02 1 课后练习5 已知曲线S y x3 6x2 x 6 1 求S上斜率最小的切线方程 2 证明 S关于切点对称 1 解 由已知y 3x2 12x 1 当x 2时 y 最小 最小值为 13 S上斜率最小的切线的斜率为 13 切点为 2 12 切线方程为y 12 13 x 2 即13x y 14 0 2 证 设 x0 y0 S x y 是 x0 y0 关于 2 12 的对称点 则x0 4 x y0 24 y x0 y0 S 24 y 4 x 3 6 4 x 2 4 x 6 整理得y x3 6x2 x 6 x y S 曲线S关于切点 2 12 对称 课后练习6 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图象都过点P 2 0 且在点P处有公共切线 求f x g x 的表达式 解 f x 2x3 ax的图象过点P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的图象也过点P 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 综上所述 f x 2x3 8x g x 4x2 16 课后练习7 设函数y ax3 bx2 cx d的图象与y轴的交点为P点 且曲线在P点处的切线方程为12x y 4 0 若函数在x 2处取得极值0 试确定函数的解析式 解 由已知 P点的坐标为 0 d 曲线在P点处的切线方程为12x y 4 0 12 0 d 4 0 又切线斜率k 12 解得 d 4 故函数在x 0处的导数y x 0 12 而y 3ax2 2bx c y x 0 c c 12 函数在x 2处取得极值0 y x 2 0且当x 2时 y 0 解得a 2 b 9 y 2x3 9x2 12x 4 课后练习8 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图象都过点P 2 0 且在点P处有相同的切线 1 求实数a b c的值 2 设函数F x f x g x 求F x 的单调区间 并指出函数F x 在该区间上的单调性 解 1 f x 2x3 ax的图象过点P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的图象也过点P 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 F x 2x3 4x2 8x 16 综上所述 实数a b c的值分别为 8 4 16 2 23 2a 0 f 2 6 22 8 16 2 由 1 知f x 2x3 8x g x 4x2 16 F x 6x2 8x 8 F x 的单调区间为 2