,小波变换及其在模式识别中的应用,内容简介,概述小波发展史傅立叶分析 傅立叶vs 小波变换小波分析典型应用总结,概 述,Wavelet（小波)顾名思义小波是具有一定衰减性的波。波振荡, 小有限的支集 ,或衰减速度比较快 。Wavelet Transforms(小波变换)将信号分解为一系列小波(信号原子) 的叠加提供时-频分析工具具有比傅立叶变换更加紧凑的表示能更好地逼近实际信号适合于非平稳信号和不连续信号“The Forest & the Trees”（数学望远镜)能分析信号的大致概貌也能聚焦到信号的任意细节,PRE-1930,傅立叶分析 1807年，Fourier 提出了Fourier分析，一个函数能被分解成不同频率波的组合， 构成一组基，但在空间或时间域上无任何局部性。Gibbs 效应,PRE-1900,Harr wavelet(平凡小波）,1909年Harr构造了Harr基紧支撑非连续不可微频域局部性差,1964,1964年，Gabor提出了加窗Fourier变换,加窗Fourier变换是一种窗口大小及形状均固定的时频局部化分析。现代信号处理、信息论的奠基人,80年代早期,1981年，Stromberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在性。1984年Morlet石油工程公司物理工程师，在分析地震波的局部时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因此他引入小波概念于信号分析中对信号进行分解。,随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩、平移系展开的可行性进行了研究，并提出了逆小波变换。,Post-1980,Daugman1985年提出2D Gabor变换,POST-1980,1987年，Mallat and Meyer 提出了多分辨分析（Multiresolution Analysis）,从而成功的统一了在此之前的Stromberg、Meyer、Lemarie和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法（Mallat算法,其地位相当于傅立叶分析中的FFT）应用于图像分解域重构。,Ingrid Daubechies,Ingrid Daubechies 正交小波基基于 Mallats 的工作 给出了有限支集正交小波基的通用构造方法(db2,db4,db6,)有限支集公认的小波大师，与Mallat齐名,90年代-21世纪初期,双正交小波多小波小波提升算法复数小波JPEG2000Framelet多尺度几何分析(ridgelet,curvelet,contourlet,wedgelet, bandelet.),我们做的一点工作,FanletTIFanlet,数学变换,WhyTo obtain a further information from the signal that is not readily available in the raw signal.Raw SignalNormally the time-domain signalProcessed SignalA signal that has been transformed by any of the available mathematical transformations Fourier TransformationThe most popular transformation,时域信号,自变量是时间(time)因变量是幅值 Amplitude大部分信息如频率是隐含的,频域变换,为什么需要频域变换能看清楚在时域中看不清楚的一些信息频域变换有那些?傅立叶变换,希尔伯特变换, 短时傅立叶变换, Wigner Distributions, Radon 变换, 小波变换 ,频域分析,频谱表示信号的频率分布Fourier Transform (FT) 获得频谱告诉我们信号由哪写频率成分组成,所占的分量是多少,稳态信号 (1),稳态信号(Stationary Signal)信号的频率成分不随时间而改变非稳态信号(Non-stationary Signal)信号的频率成分不随时间而改变如鸟鸣声,音乐,地震信号.传感器输出的绝大部分信号,稳态信号(2),Occur at all times,Do not appear at all times,鸟鸣声,Same in Frequency Domain,Frequency: 2 Hz to 20 Hz,Frequency: 20 Hz to 2 Hz,At what time the frequency components occur? FT can not tell!,短时傅立叶变换 (STFT),Dennis Gabor (1946) Used STFT每次只分析一小段信号 - a technique called Windowing the Signal.这一小段信号假定是平稳的 A 3D transform,STFT的缺点,窗函数不变化分辨率的两难问题Narrow window - poor frequency resolution Wide window - poor time resolution,The two figures were from Robi Poliker, 1994,小波变换(Wavelet Transform)克服 STFT的分辨率两难问题Similar to STFT: 信号与一个函数的内积多分辨率分析 利用不同的分辨率分析不同频段的信号在高频处时间分辨率高而频率分辨率低在低频处时间分辨率低而频率分辨率高,多分辨率分析 (MRA),小波与STFT的不同之处,对于不同的频段窗口是变化的分辨率可变,小波变换的原理,将信号分解为小波(信号原子)的加权叠加同类小波的形状相同,但位置和频率不同,Wavelet Small wave有限支集的窗函数Mother Wavelet(母小波)小波原型其余小波是由它经过伸缩和平移获得,连续小波的定义,尺度 SCALE,ScaleS1: dilate the signalS High Scale - 分析信号的概貌高频- Low Scale - 分析信号的细节,连续小波的计算,Step 1: The wavelet is placed at the beginning of the signal, and set s=1 (the most compressed wavelet);Step 2: The wavelet function at scale “1” is multiplied by the signal, and integrated over all times; then multiplied by ;Step 3: Shift the wavelet to t= , and get the transform value at t= and s=1;Step 4: Repeat the procedure until the wavelet reaches the end of the signal;Step 5: Scale s is increased by a sufficiently small value, the above procedure is repeated for all s;Step 6: Each computation for a given s fills the single row of the time-scale plane;Step 7: CWT is obtained if all s are calculated.,时-频窗,时-频窗比较,数学解释,CWT can be regarded as the inner product of the signal with a basis function,CWT的离散化,需要对时间和尺度抽样当尺度较大时 (Lower Frequency f ), 时间抽样 N(t) 可小一些.尺度参数S在对数格点中抽样 通常S= 2k.,DWT,The Discretized CWT 不是真正意义上的离散小波变换离散小波变换(DWT)有效地减小计算复杂度容易计算多分辨率 将信号分解为一个近似(概貌)分量和多个细节分量(频带不同),子带编码,时间分辨率减半Only half number of samples resulted频率分辨率加倍The spanned frequency band halved,非平稳信号的分解 (1),非平稳信号的分解(2),小波重构 (1),What如何将分解之后的结果无失真地还原成原始信号?分解(分析)重构(综合).How从小波系数复原原始信号小波分解涉及到滤波和下抽样, 而小波重构造涉及到上滤波和上抽样,小波重构 (2),上重样(upsampling):样点之间插零,小波基,小波应用,典型应用领域 信号处理,图像处理,计算机视觉,模式识别,天文学, 声学, 核工程, 子带编码,音乐分析, 核磁成像, 语音识别, 光学, 分形几何, 地震预测, 雷达, 纯数学应用实例信号去噪检测信号奇异性(突变)检测自相似性信号和图像压缩,信号去噪,近似分量受噪声干扰小噪声的小波系数小,图像去噪,图像复原,检测信号突变点,信号 的起 始为 低频, 然后 变为 高频.,信号(图像)压缩,在模式识别中的应用,语音识别图像识别,谢 谢!,