2012年5月 概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布 主讲教师 李金波 1 第二章 随机变量及其分布 一 随机变量 二 离散型随机变量及其分布 三 随机变量的分布函数 四 连续型随机变量及其分布 五 随机变量的函数的分布 2 第一节 为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规 第二章 实数对应起来 将随机试验结果数量化 随机变量 律 引入随机变量的概念 即将随机试验的结果与 3 定义1 设随机试验的样本空间 在样本 上的实值单值函数 称 是定义 为随机变量 例1 对一均匀硬币抛一次 观察正反面情况 设 为随机变量 其中 表示事件A 结果 样本空间 出现正面 即 同理 其中 表示事件 一 随机变量的定义 4 结果出现反面 即 例2 测量某工厂一天生产灯泡的寿命 样本空间 设 其中 则X为随机变量 寿命 表示一事件A 例如 例3 某战士射击命中率为 设首次击中目标所需射击 次数为 则随机变量 5 随机变量定义在样本空间S上 定义域可以是数也可 以不是数 而普通函数是定义在实数域上的 2 随机变量函数的取值在试验之前无法确定 有一定 的概率 而普通函数却没有 三 随机变量的分类 随机变量 非离散型随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 其它 二 随机变量函数和普通函数的区别 1 定义域不同 6 离散型随机变量及其分布 第二章 一 离散型随机变量的定义 二 常用的离散型随机变量 第二节 7 定义1 若某个随机变量 的全部可能取值是有限个或 无限可列多个 则称这个随机变量是离散型随机变量 定义2 设离散型随机变量 的所有可能取值为 其中 取各个可能值的概率 即事件 的概率 一 离散型随机变量的定义 8 满足 称 为离散型随机变量 的概率分布或分布律 分布律也可用如下表格的形式表示 分布律的判断条件 9 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号 灯 每盏信号灯以概率 允许或禁止汽车通过 表示汽车首次停下通过的信号灯盏数 设各信号灯的工 作是相互独立的 求 的分布律 解 由题意可知 的分布律为 则 10 显然 的分布律满足 例2 设一均匀的硬币抛三次为一次试验 为正面 出现的次数 求随机变量 的分布律 将 带入可得 的分布律为 11 解 的所有可能取值为 其分布律为 例3 一骰子掷两次 用 表示所得点数之和 求 可能值的概率 取各 解 S HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT 则 12 0 1 分布 定义1 如果随机变量 的分布律为 则称 服从参数为 的 0 1 分布 即 或 二 常用的离散型随机变量及其分布 0 1 分布的分布律也可写成 13 注服从 0 1 分布的随机变量很多 如果涉及的试 验只有两个互斥的结果 都可在样本空间上定义 一个服从 0 1 分布的随机变量 14 下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的 分布 二项分布 15 1 伯努利概型 概率论中最早研究的模型之一 也是 研究最多的模型之一 在理论上一些重要的结果也由 它推导 n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次 若n次试验中各 结果是相互独立的 则称这n次试验是相互独立的 伯努利概型 设随机试验E只有 两种可能结果 且 将试验E独立地重复进行n次 则称这n次试验 为n重伯努利试验 或称n重伯努利概型 二项分布 16 引例 某人打靶单发命中率为 现独立重复射 击3次 求恰好命中2发的概率 解 表示 第i次命中 表示 恰好命中两次 定理 伯努利定理 P24 n重伯努利试验中 事件 恰好发生k次 即 的概率为 17 例1 某人射击每次命中的概率为0 7 现独立射击5 次 求正好命中2次的概率 解 例2 从学校乘汽车去火车站一路上有4个交通岗 到各个岗遇到红灯是相互独立的 且概率均为0 3 求 某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率 解途中遇到4次经交通岗为4重贝努利试验 其中 18 例3 袋中装有30只红球 70只蓝球 现从袋中有放 回地抽取5次 每次取1只球 试求 1 取出的5只球中恰有2只红球的概率 2 取出的5只球中至少有2只红球的概率 解 取到红球的概率为0 3 5次取球相互独立 故为5重伯努里概型 设X为取到红球的次数 1 2 19 在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现 特大洪水的可能性 假定该处每年出现特大洪水的概率 都是0 1 且特大洪水的出现是相互独立的 求在今后 10年内至少出现两次特大洪水的概率 解设A 出现洪水 不出现洪水 例4 20 定义2 如果随机变量 的分布律为 则称 服从参数为 的二项分 其中 布 记为 容易验证 由二项式定理 特别 当 时 二项分布为 这就是 0 1 分布 常记为 2 二项分布 21 3 二项分布的分布形态 若 则 由此可知 二项分布的分布律 右图 先是随着 到其最大值后再随着 的增大而减小 这个使得 达到其最大值的 称为该二项分布的最可能次数 的增大而增大 达 22 可以证明 例4已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地 取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品 的概率 23 表示所取的3个中的次品数 于是所求概率为 则 解 设 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各 次试验条件就不同了 不是伯努利概型 此时只能用 古典概型求解 24 古典概型与伯努利概型不同 有何区别 请思考 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求 1 每次试验条件相同 2 每次试验只考虑两个互逆结果 且 3 各次试验相互独立 但有下述要求 25 例5一大批产品中一级品率为0 2 现随机抽查20 只 问20只元件中恰好有 为一级 品的概率为多少 解 设 表示20只元件中为一级品的只数 这个试验可以看作伯努利试验 26 例6某人射击命中率为0 02 独立射击400次 试 求至少击中2次的概率 解设 表示击中的次数 则 所以分布律 则所求概率 本例题的实际意义 27 不可忽视小概率事件 反过来看 如果一个人射击400次 击中竟不到 两次 由于 很小 故怀疑 命中率 0 02 是否为真 即他的命中率不到0 02 例780台同类型设备 各台工作相互独立 发生故 障的概率 有两种配备维修工人的方法 4个人每人负责20台 3个人共同负责80台 28 问那种方案好 比较发生故障而不能及时维修的概率 解设 表示 第一个人维护的20台中同时发生故障 的台数 表示 第i个人维护的20台中发生故障而不 能及时维修 由题意可得 第一个人维护的20台中发生故障而不能及时维 修的概率为 29 4个人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率 设 表示 80台同时发生故障的台数 则3人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率 总之 即第 种方案的工作效率高 30 定理1 泊松Poisson定理 设 是一常数 n是 正整数 若 则对任一固定的非负整数 证明由 得 31 对于任意固定的 故有 32 注 二项分布是最重要的离散型概率分布之一 当 时 即为 0 1 分布 当 时 二项分布近似于下面介绍的泊松分布 定义1 设随机变量 所有可能取的值为0 1 2 而 且概率分布为 泊松分布 其中 则称 服从参数为 的泊松分布 记 33 注 马克劳林级数 所以 满足随机变量概率定义的条件 34 泊松分布的图形特点 35 当n很大 p很小时 泊松定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布 参数 np的泊松分布 二项分布就可近似看成是 36 例1一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数 服从参数为 的泊松分布 求至少发生两次 事故的概率 解 随机变量 则 37 解由已知得 所以分布律为 38 解设选出n个人 n人中色盲患者为 则 两边取对数 所以得 39 随机变量的分布函数 第二章 一 分布函数的概念 二 分布函数的性质 第三节 40 为X的分布函数 记作 设X是一个随机变量 定义1 是任意实数 称函数 的值就表示X落在区间 上的概率 分布函数 一 分布函数的概念 41 由定义 对任意实数 上的概率 用F x 刻画随机点落在 功能式 区间 由于 得 42 解 1 当 时 当 时 则 43 当 时 则 当 时 为必然事件 则 所以 44 2 一般地 设离散型随机变量 的分布律为 由概率的可列可加性得 的分布函数为 请看41页 45 作业5 69页14678 46 二 分布函数的性质 单调不减性 右连续性 对任意实数x 归一性 则 具有上述三个性质的实函数 必是某个随机变量的分 布函数 故该三个性质是分布函数的充分必要性质 47 解 所以 48 例3已知离散型随机变量X的分布函数为 求X的分布律 解X的可能取值为3 4 5 49 所以X的分布律为 50 例4已知X表示弹着点与靶心的距离 击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积 成正比 靶子半径是2米 每次射击都中靶 求X的分布函数F X 解 因为 当 时 不可能发生 当 时 51 由 当 时 总之X的分布函数为 其图形为一连续曲线 52 53 对任意实数x有 显然 54 欢迎提出宝贵意见 各位同学 未讲解到位的地方 55