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广东省化州市官桥中学2007届高三数学理科第二次统一考试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第I卷(选择题 共40分)一、选择题:(每小题5分;在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1在下列函数中,定义域和值域不同的函数是( )AB C D2设全集I是实数集R. 都是I的子集(如图所示), 则阴影部分所表示的集合为:( ) A B C D3数列an满足,那么的值是( ) A B C D4,下列命题中正确的是:( ) A 若, 则 B 若 , 则C 若 ,则 D若 , 则5设函数,若,则的最小值为A2 B1 C D6方程的解所在的区间为( )A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4)7在数字1,2,3与符号“”,“”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A6 B. 12 C. 18 D. 248设是定义在上的奇函数,且的图像关于直线对称,则 ( )A0 B1 C D 第卷(非选择题 共110分)二、填空题:(每小题5分;把答案填在答题卷上.)9复数(是虚数单位)的实部为 。10. = 。11. 己知(x cos+1)5的展开式中x2的系数与(x+)4的展开式中x3的系数相等,则cos= 。12不等式组围成的区域中,整数点的个数有 。13设函数,若,则 。14从以下两个小题中选做一题(只能做其中一个,做两个按得分最低的记分)(甲)一水池有2个进水口,1 个出水口,每口进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是_.(乙)深圳市的一种特色水果上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数. ; . (以上三式中均为常数,且,表示4月1日,表示5月1日,依次类推). (1)为准确研究其价格走势,应选_种价格模拟函数. (2)若,预测该果品在_月份内价格下跌.三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15(本小题满分14分)已知函数,求:(1)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;(2)函数的单调增区间 16(本题满分14分)已知等差数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式(2)求证:17(本题满分14分)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,C=2A,cosA=(I)求的值; (II)求b的值.18(本小题满分14分)已知。(1)试问函数在的条件下,在上能否单调递减?(2)若函数的图像在点处的切线与直线平行,求常数的值。(3)在(2)的条件下,求函数在区间上最小值和最大值。 19.(本小题满分12分) 某县投资兴建了甲、乙两个企业,2005年底,该县从甲企业获得利润100万元,从乙企业获得利润400万元,以后每年上缴的利润甲企业以翻一番的速度递增,而乙企业则减为上年的一半,据估算,该县年收入达到5000万元,可解决温饱问题,年收入达到50000万元达到小康水平,试估算:(1)若2005年为第1年,则该县从上述两企业获得利润最少的是第几年?这年还需另外筹集多少万元才能解决温饱问题?(2)到2014年底,该县能否达到小康水平?为什么?20(本题满分12分)已知定义域为0, 1的函数f(x)同时满足:对于任意的x0, 1,总有f(x)0; f(1)1; 若0x11, 0x21, x1x21, 则有f (x1x2) f (x1)f (x2)(1)试求f(0)的值; (2)试求函数f(x)的最大值;(3)试证明:当x, nN时,f(x)2x参考答案BCBBB CBA 9. 10. 11. 12.613.16 14.甲 乙 5至6月1解析:画图;2.解析:画图;2. 全集I是实数集R.=(,2)(2,+),=(1,3,阴影部分所表示的集合为NI M 3解析:4解析:排除法,取,排除A;取,排除C取,排除D5. 解析:画图,周期,半个周期;6. 解析:设,7解析:在数字1,2,3与符号“”,“”五个元素的所有全排列中,先排列1,2,3,有种排法,再将“”,“”两个符号插入,有种方法,共有12种方法。8解析:由题意知得到,令x=1、2,得,而令x=0得,是R上的奇函数.而令x=5,得,解析:故复数(是虚数单位)的实部10解析:=11解析:由二项式通项公式知:,解得12解析:当时,可取0,1,2三个;当时,可取1,2二个; 当时,可取2一个;故整数点的个数有6个。13解析:,14. 解析:甲 ;解析:乙(1)应选f(x)=x(x-q)+p. 因为f(x)=pq是单调函数; f(x)=px+qx+1的图象不具有先升再降后升特征;f(x)=x(x-q)+p中,f(x)=3x-4qx+q, 令f(x)=0,得x=q,x=,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间. (2)由f(0)=4,f(2)=6得 解之得 (其中q=1舍去).函数f(x)=x(x-3)+4,即f(x)=x(0x5) 由f(x) 0,解得1x3 函数f(x)=x在区间(1,3)上单调递减, 这种果品在5月,6月份价格下跌.15(I)解: 5分当,即时,取得最大值.因此,取得最大值的自变量x的集合是 9分()解:由题意得,即.因此,的单调增区间是. 14分16解析:(1) 4分 6分 7分(2) 10分 12分 14分17解(I)解 在ABC中, 2分 =(4分) =6分(II)解 依a+c=10及8分 又依余弦定理: 10分 化简得b2 9b+20=0 b=4或5 13分 注意到当b=4时,A=B得C=不符合题意,舍去. 故只取b=5 14分18解:(1)。若在上是单调递减函数,则在上恒有,即恒成立,恒成立,这样的实数不存在,故函数在上不可能是单调递减函数。 4分(2),依题意,又 7分(3)由(2),令,得,因,所以, 9分若,则,在区间是减函数, 11分若,则当时,在上递减;当时,在上递增。所以。的最大值是与中较大的一个。当时,;当时, 14分19解:设第年该县从这两个企业获得的利润为万元, 1分则= 4分,当且仅当即时, 6分第2年该县从这两企业获得利润最少,另外需筹集5000-400=4600万元,才能解决温饱问题。 7分(2)到2014年即第10年该县从这两企业获利润(万元),故能达小康水平。 12分20. 解:(1)令x1x20,依条件(3)可得f(00)2f(0),即f(0)0又由条件(1)得f(0)0 故f(0)03分(2)任取0x1x21可知x2x1(0,1,则f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)f(x1) 于是当0x1时,有f(x)f(1)1因此当x1时,f(x)取最大值18分(3)证明:先用数学归纳法证明:当x(nN)时,f(x)10当n1时,x,f(x)f(1)1,不等式成立当n2时,x, 此时f(x)2x综上所述:当x(nN)时,有f(x)2x12分
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