基于 减负增效 的解析几何复习教学建议 2011年福建省泉州市高三数学学科会 基于 减负增效 的解析几何复习教学建议 一 版块知识分析 二 考纲考情分析 三 亮点试题赏析 四 减负增效 略策 一 版块知识分析1 知识结构 不含线性规划 空间直角坐标系 极坐标系和参数方程 一 版块知识分析1 知识结构 一 版块知识分析1 知识结构 一 版块知识分析2 内容本质 在2004年高考上海理科卷中有这样一个试题 教材中 坐标平面上的直线 与 圆锥曲线 两章内容体现出解析几何的本质是 百度百科名片 解析几何系指借助坐标系 用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支 亦叫做坐标几何 基本介绍 解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分 平面解析几何通过平面直角坐标系 建立点与实数对之间的一一对应关系 以及曲线与方程之间的一一对应关系 运用代数方法研究几何问题 或用几何方法研究代数问题 以上的解释指出了解析几何的主要工具是 坐标系 研究的主要对象是 几何对象之间的关系和性质 蕴含的主要核心数学思想是 数形结合思想 他是沟通代数与几何的桥梁 回到2004年高考上海理科卷的试题 当时给出的参考答案是 用代数的方法研究图形的几何性质 2004年高考上海理科卷 教材中 坐标平面上直线 与 圆锥曲线 两章内容体现出解析几何的本质是 这是一个问的很直接 很深刻的问题 不少学生也许能够解答一些解析几何的试题 但不一定能真正地感受到解析几何的本质是 用代数的方法研究图形的几何性质 感受解析几何的本质 并通过实践有所领悟 对于形成正确的 良好的数学思维是有很大的帮助的 一 版块知识分析3 能力要求 考试大纲中 考核目标与要求 所要求的五大能力两大意识 在高中解析几何课程中基本上都能找到良好的考查载体 其中重点考查的是抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力以及应用意识和创新意识 评注本题是立体几何与平面解析几何交汇考查的典范 对空间想象能力提出较高的要求 同时也充分考查了解析几何的本质思想 几何问题代数化思想 是一个难得的好题 3 1空间想像能力空间想像能力是对空间形式的观察 分析 抽象的能力 主要表现为识图 画图和对图形的想像能力 评注本题以圆锥曲线为载体考查了类比推理 归纳推理 演绎推理以及证明方法 重点考查了抽象概括能力 在近年的试题中 以类比推理 归纳推理为基础 考查从归纳 猜想到论证的证明题崭露头角 这就对解题者提出了更高的素质要求 3 2抽象概括能力抽象概括能力就是从具体的 生动的实例 在抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从给定的大量信息材料中 概括出一些结论 并能应用于解决问题或作出新的判断 评注本题主要考查抛物线几何性质 直线与抛物线 点与圆的位置关系等知识 重点考查运算求解能力 推理证明能力 实质上 推理的过程隐含运算求解 运算求解的过程本身也是一种推理 3 3推理论证能力中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力 3 4运算求解能力运算能力包括分析运算条件 探究运算方向 选择运算公式 确定运算程序等一系列过程中的思维能力 也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力 3 4运算求解能力 3 4运算求解能力 3 4运算求解能力 3 4运算求解能力 3 4运算求解能力 评注本题考查求椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系等知识点 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 考查运算求解能力 推理论证能力 第一小题的解法1 利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 解法2 利用待定系数法求椭圆的标准方程 第二小题的解法1 2 利用函数方程的思想 解法3 利用椭圆的参数方程 解法4是 利用柯西不等式 解法5 利用数形结合 在上述众多解法的选择中 学生需谋定而后动 需根据问题的条件 寻找与设计合理 简捷的运算途径 从而考查了学生运算求解能力 2 能力要求 3 5应用意识应用的主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数量关系 将现实问题转化为数学问题 构造数学模型 并加以解决 3 5应用意识 评注这是一道与圆锥曲线和数列有关的应用题 考查了椭圆及其标准方程 直线与圆的方程 直线与圆锥曲线的位置关系和等比数列的求和公式等数学学科的重点内容 要求考生综合运用所学数学知识 思想和方法解决问题 引导考生置身于现实社会的大环境中 关心自己身边的数学问题 关注社会的热点问题 环境与气候 促使考生在学习和实践中形成和发展应用数学的意识 属中档偏难题 2 能力要求 3 6创新意识创新意识是理性思维的高层次表现 对数学问题的 观察 猜测 抽象 概括 证明 是发现问题和解决问题的重要途径 对数学知识的迁移 组合 融会的程度越高 显示出的创新意识也就越强 3 6创新意识 评注本题来源于课本中平面向量的坐标表示 解题过程中 平面直角坐标系的建立过程和坐标的表示方法为考生提供了一个可模仿的思维模式 所以解决本题的核心并不只是在于是否知道 斜坐标 而是应该知道平面直角坐标系是如何建立的 又该如何把平面直角坐标系创造性地迁移到斜坐标系 我们也见过不少类似的题目 他们都来源于知识产生过程所蕴含的数学知识和方法 一 版块知识分析4 思想方法 高考命题的着眼点看上去是考查知识 但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力 利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质 其核心是 数形结合 的思想方法 由于解析几何内容的综合性 在解决问题的过程中 就必然还要用到其它的思想方法 如函数与方程思想 转化与化归思想 分类与整合思想 特殊与一般思想 以及待定系数法 换元法等等 3 1数形结合思想 评注这是个过定点的直线与圆相交的问题 解题时注意数形结合 以形助数 观察过定点的直线族的斜率的变化范围 解析几何主要解决两个问题 一是由曲线求方程 二是由方程研究曲线 复习时要突出这两个问题 因此数形结合思想为解析几何的核心思想 4 1数形结合思想 评注本题在研究直线与抛物线的位置关系时 通过联立方程 判断判别式的符号 用方程研究曲线 都体现了 以数释形 的 解析 思想 4 2函数方程思想 评注本题考查椭圆的性质 直线与椭圆的位置关系 用函数方程的思想求解弦长问题与最值问题 其中有设而不解 韦达定理 整体代换 基本不等式等 考查字母运算能力 运算求解能力 难度较大 4 3转化与化归思想 评注在第 题 先假设存在这样的直线 再按直线的斜率是否存在进行讨论 当直线的斜率存在时 设出直线方程 把转化为 用平面几何知识的射影定理进而把问题转化为 进而转化为 从向量问题转化为平面几何的问题 再从平面几何的垂直问题转化为向量的内积问题 接着把向量的内积问题转化为坐标运算的问题 最后用设而不解的方法进行求解 其中的转化过程充分体现转化化归的思想 4 4分类与整合思想 评注本题重点考查分类与整合的思想 由直译法求轨迹可得曲线C的方程为 实数m的取值范围决定了曲线C的形状 曲线C可以是圆 椭圆或双曲线 因此 需对曲线的形状进行分类讨论 常见的题型中也常见 圆锥曲线的焦点位置不确定引起的讨论 假设直线时 斜率存在与不存在的谈论 直线与双曲线或抛物线位置关系中 联立方程并消元 得到准二次方程 对该方程首项系数进行讨论 二 考纲考情分析 1 考试大纲 要求 1 1平面解析几何初步 1 直线与方程 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 2 圆与方程 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 3 空间直角坐标系 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离公式 1 2圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用 理解数形结合的思想 2 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 二 考纲考情分析 2 高中平面解析几何的内容要求的层次分析 了解部分 理科 了解斜截式与一次函数的关系 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 了解空间直角坐标系 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 了解圆锥曲线的简单应用 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 文科 了解斜截式与一次函数的关系 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 了解空间直角坐标系 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 了解双曲线 抛物线的定义 几何图形和标准方程 了解圆锥曲线的简单应用 可见解析几何这一知识板块的重要性 这方面知识的考查在难题 中档题都有可能出现 虽然近年福建在解答题方面做出了降低难度的选择 但是根据考试说明的要求 我们在平时的教学中还是应上到一定的难度 以不变应万变 理解 掌握部分 除上述了解部分外 其余都在理解 掌握的水平上 二 考纲考情分析 3 考试大纲 与 考试说明 的差异比比较 二 考纲考情分析 3 考试大纲 与 考试说明 的差异比较 二 考纲考情分析 4 近三年福建课标卷相关考题展示与点评 2009 2011福建高考 理科 解析几何试题的总体分布 二 考纲考情分析 4 近三年福建课标卷相关考题展示与点评 2009 2011福建高考 文科 解析几何试题的总体分布 二 考纲考情分析 4 近三年福建课标卷相关考题展示与点评 从上表可以看出 5 对于用代数方法研究有关直线与椭圆 抛物线位置关系问题 体现在解法上 不仅仅只是利用根与系数关系研究 而是在方法的选择上更加灵活 如联立方程求交点或向量的运算等 思维层次的要求并没有降低 关注全国其他课标卷我们发现依然有不少的省份都把它定位为准压轴题 把关题 这也应引起我们的注意 4 大题以中档题 存在性设问方式呈现 3 直线与椭圆 抛物线位置关系的要求层次有所降低 2 解析几何的难度明显下降 1 每份试卷基本上是1小题1大题 理科平均18分 文科平均17分 理科考查权重应为 18 16 324 11 应考分值16 5 理科考查权重 18 12 250 12 应考分值18 实际考查与考查权重基本上相吻合 二 考纲考情分析 4 近三年福建课标卷相关考题展示与点评 6 在2009 2011年高考福建卷的解析几何试题中 归纳其考点 主要考点如下 考点1 直线的方程考点2 圆的方程考点3 圆锥曲线的方程考点4 圆锥曲线的几何性质考点5 直线与圆锥曲线的位置关系 二 考纲考情分析 考点1 直线的方程 该部分内容一般不做单独考查 而是与其他知识交汇融合 如 2011年福建高考理17 2011年福建高考文18 2009年福建高考理13 评注本题涉及直线的点斜式方程 抛物线的方程 直线与抛物线的位置关系等知识点 主要考查推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 函数与方程思想 二 考纲考情分析 考点2 圆的方程 一般地 圆的方程也与其他知识进行交汇 可以小题的形式出现也可以解答题的形式出现 如 2011年福建高考理17 2011年福建高考文18 2010年福建高考理2 评注本题涉及抛物线的几何性质以及圆的方程等知识点 主要考查推理论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 化归与转化思想 二 考纲考情分析 考点3 圆锥曲线的方程 考查方式一般是给出圆锥曲线的某几何性质 然后求解圆锥曲线的方程 或利用定义求圆锥曲线的轨迹方程 它经常在