第5节线线角与线面角 要点 疑点 考点 1 线线角 2 范围 1 定义 设a b是异面直线 过空间任一点O引 则所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 2 线面角 3 范围 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫这条斜线和这个平面所成的角 2 若直线l 平面 则l与 所成角为直角若直线l 平面 或直线l 平面 则l与 所成角为0 4 射影定理 从平面 外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 垂线段比任何一条斜线段都短 5 最小角定理 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角 2 相交成90 的两条直线与一个平面所成的角分别是30 与45 则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为 A B C D 1 平面 的斜线与 所成的角为30 则此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是 A 30 B 60 C 90 D 150 课前热身 C C 3 如图 正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60 的二面角 则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 4 异面直线a b成80 角 P为a b外一定点 若过P有且仅有2条直线与a b所成角都为 则 的范围是 A B C D B A 5 如图 ABC A1B1C1是直三棱柱 BCA 90 点D1 F1分别是A1B1 A1C1的中点 若BC CA CC1 则BD1与AF1所成角的余弦值是 A B C D 能力 思维 方法 1 如图所示 ABCD是一个正四面体 E F分别为BC和AD的中点 求 1 AE与CF所成的角 2 CF与平面BCD所成的角 解题回顾 本题解法是求异面直线所成角常采用的 平移转化法 把异面直线转化为求两相交直线所成的角 需要通过引平行直线作出平面图形 化归为平面几何问题来解决 2 如图 在正方体AC1中 1 求BC1与平面ACC1A1所成的角 2 求A1B1与平面A1C1B所成的角 解题回顾 线线角抓平移 线面角定射影 也就是说要求直线与平面所成的角 关键是找到直线在此平面上的射影 为此 必须在这条直线上的某一点处作一条 或找一条 平面的垂线 本题 中BO就是平面的垂线 垂足H的位置也必须利用图形的性质来确定 3 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 E H分别是A1B1和BB1的中点 求 1 EH与AD1所成的角 2 AC1与B1C所成的角 解题回顾 2 中为了找到异面直线AC1与B1C所成的角 需将AC1平移出长方体外 实际上是在原长方体外 再拼接一个完全相同的长方体 这是立体几何中常见的方法之一 4 在120 的二面角 l 的两个面 内分别有A B两点 这两点到棱的距离分别为2和4 AB 10 求 1 AB与l所成的角 2 AB与平面 所成的角 解题回顾 本例是综合题 解题过程常常是作图 包括添辅助线或辅助面 论证 计算三个阶段 这样就综合考查了空间想象能力 逻辑推理能力和运算能力 延伸 拓展 5 在棱长为a的正方体ABCD A B C D 中 E F分别是BC A D 的中点 1 求证 四边形B EDF是菱形 2 求直线A C与DE所成的角 3 求直线AD与平面B EDF所成的角 解题回顾 对于第 1 小题 若仅由B E ED DF FB 就断定B EDF是菱形 那是不对的 因存在四边相等的空间四边形 所以必须证B E D F四点共面 第 3 小题应用了课本一道习题的结论 才证明了AD在平面B EDF内的射影在B D上 误解分析 2 凡立体几何求角或距离的解答题 一定要注意 作 证 指 求 四个环节缺一不可 1 求异面直线所成的角 要注意角的范围是 如能力 思维 方法3 平移后得 计算得 不能说两异面直线成角为 而应为