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厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学(文科)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合, ,则( )A. B. C. D. 2设时虚数单位,若复数,则( )A. B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为2,则输出的值为( )A. B. C. D. 4一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()ABCD(第3题图) (第4题图)5下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )A. B. C. D. 6直线与圆相交于点,点是坐标原点,若是正三角形,则实数的值为 ( )A1B-1CD7设椭圆,双曲线,(其中)的离心率分别为 ,则( )A. B. C. D. 与1大小不确定8已知底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为( )A. B.C. D. 9已知,则( )A. B. C. D. -10.已知函数,且,则等于( )A.2013B2014C2013D201411关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,假如统计结果是,那么可以估计的值约为( )A. B. C. D. 12若关于的不等式的解集为,且中只有一个整数,则实数的取值范围是( )A.B. C.D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13已知向量,且,则_14已知实数, 满足约束条件则的最大值为_15学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“作品获得一等奖”; 乙说:“作品获得一等奖”丙说:“两项作品未获得一等奖” 丁说:“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 _16已知平面图形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且,则四边形面积的最大值为_三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)等差数列的前n项和为,已知, 为整数,且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.18(本小题满分12分)如图(1),五边形中,.如图(2),将沿折到的位置,得到四棱锥.点为线段的中点,且平面(1)求证:平面.(2)若直线与所成角的正切值为,设,求四棱锥的体积.19. (本小题满分12分)为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动“从今天开始,从我做起,力争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车”铿锵有力的话语,传递了绿色出行、低碳生活的理念某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数,统计如下:人数次数年龄0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,6018岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段:44岁及以下为青年人,45岁至59岁为中年人,60岁及以上为老年人用样本估计总体的思想,解决如下问题:(1)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数;(2)若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”,根据这些数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关?的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关?0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是原点,以轴为对称轴,且经过点.(1)求抛物线的方程;(2)设点, 在抛物线上,直线, 分别与轴交于点, , .求证:直线的斜率为定值.21(本小题满分12分)设函数(为常数),为自然对数的底数.(1)当时,求实数的取值范围;(2)当时,求使得成立的最小正整数.22选修44:坐标系与参数方程(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,圆的参数方程为,(t为参数),在以原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为,两点的极坐标分别为(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程; (2)点是圆上任一点,求面积的最小值23选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知函数,(1)解不等式:;(2)若对任意的,都有,使得成立,求实数的取值范围.厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学(文科)试题参考答案一.选择题1-12 DACCA CBACD BB二.填空题13.14615C16【选择填空解析】1D【解析】所以2A【解析】,.3C4C【解析】几何体是半个圆柱,底面是半径为1的半圆,高为2,故几何体的表面积是,5A【解析】函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域均为,不满足要求;函数的定义域为,值域为,不满足要求;函数的定义域为,值域为不满足要求;函数的定义域和值域均为满足要求,6C【解析】试题分析:由题意得,圆的圆心坐标,所以弦长,得.所以,解得7B【解析】在椭圆中,在双曲线中,8A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为9C【解析】=,10.D【解析】当为奇数时,当为偶数时,所以11B【解析】如图,点在以为邻边的正方形内部,正方形面积为1,能构成钝角三角形的三边,则,如图弓形内部,面积为,由题意,解得12.B【解析】设,由题设原不等式有唯一整数解,即在直线下方,递减,在递增,故,恒过定点,结合图象得:,即13.【解析】由题意可知:解得146【解析】解:绘制由不等式组表示的平面区域,结合目标函数可知目标函数在点处取得最大值 .15C【解析】若是一等奖,则甲丙丁都对,不合题意;若是一等奖,则甲乙丁都错,不合题意;若是一等奖,则乙丙正确,甲丁错,符合题意;若是一等奖,则甲乙丙错,不合题意,故一等奖是16【解析】设,在中,由余弦定理可得, .在中,由余弦定理可得, ,即有,又四边形面积,即有,又,两式两边平方可得.化简可得,由于,即有,当即时, ,解得.故的最大值为.三.解答题17. 解:(1)由, 为整数知,等差数列的公差为整数又,故2分于是,解得,4分因此,故数列的通项公式为6分(2),8分于是12分18. (1)证明:取的中点,连接,则,又,所以,2分则四边形为平行四边形,所以,3分又因为面所以平面 5分(2)又平面,平面,平面平面PCD;取的中点,连接,因为平面,.由即及为的中点,可得为等边三角形,又,平面平面,7分平面平面.所以9分所以.,为直线与所成的角,由(1)可得,由,可知,则.12分19解(1),4分 (2)根据题意,得出如下列联表骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计300150018008分根据这些数据,能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关12分20解:(1)依题意,设抛物线的方程为由抛物线且经过点,得,所以抛物线的方程为4分(2)因为,所以,所以 ,所以 直线与的倾斜角互补,所以 6分依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为:,将其代入抛物线的方程,整理得设,则 ,所以8分以替换点坐标中的,得10分所以 所以直线的斜率为12分21.解:(1)由可知,当时,由,解得;2分当时,由,解得或;3分当时,由,解得或;4分(2)当时,要使恒成立,即恒成立,令,则,当时,函数在上单调递减;当时,函数的上单调递增6分又因为时,且,所以,存在唯一的,使得,当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增所以,当时,取到最小值9分,因为,所以,11分从而使得恒成立的最小正整数的值为112分22解: (1)由消去参数t,得,所以圆C的普通方程为2分由,得,换成直角坐标系为,所以直线l的直角坐标方程为5分(2)化为直角坐标为在直线l上,并且,设P点的坐标为,则P点到直线l的距离为,8分,所经面积的最小值是10分23.解:试题解析:()由得. 5分()的值域为,对任意的,都有,使得成立,7分所以实数的取值范围是.10分- 15 -
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