2 角的问题 距离问题 平行问题 题问直垂 体积问题 题问体何几 奋 斗 拼 博 行到水云处 坐看云起时 线线 线面 面面角的问题 角的问题 3 解法一 证明 取BE的中点N 连接MN AN 则MN CB DA 故M N A D四点共面 2分 N DA 平面EAB DA EB 3分 又EA AB AN EB 4分 由MN AN N EB 平面ANMD 6分 DM EB 7分 也可以直接用 三垂线定理 08深一模 18 本小题满分14分 如图所示的几何体ABCDE中 DA 平面EAB CB DA EA DA AB 2CB EA AB M是EC的中点 求证 DM EB 求二面角M BD A的余弦值 4 P 设CB a AC与BD的交点为O AOD CAB Q O 解 取AC的中点P 连MP 则MP EA MP 平面ABCD 过P作PQ BD 连QM 则QM BD MQP是二面角M BD A的平面角9分 则有 sin sin 450 又MP 0 5EA a 在Rt MPQ中 即二面角M BD A的余弦值为 14分 12分 5 解法二 分别以直线AE AB AD为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设CB a 则A 0 0 0 E 2a 0 0 B 0 2a 0 C 0 2a a D 0 0 2a 所以M a a 4分 6 即二面角M BD A的余弦值为 14分 11分 10分 此题用 坐标法 解简单易行 7 17 本小题满分14分 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 直线AB与CD所成的角 求二面角C AB D所成平面角的余弦值 D C 如何合理的选择正确的方法解 立几 题 通过解题的过程您将有会什么样的收获与启发 本节将以此题为例探索解决立体中有关角的问题的规律 由此我们联想 2006广州一模 一道立体几何题 8 平移法 即根据定义 以 运动 的观点 用 平移转化 的方法使之成为相交直线所成的角 选择 特殊点 作异面直线的平行线 构作含异面直线所成 或其补角 的角的三角形 再求之 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 向量法 线线角可转化为两直线的方向向量所成的角 异面直线所成角的范围是 0 900 求异面直线所成的角常用的方法有 一 异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义 求异面直线所成角 就是要将其变换成相交直线所成有角 9 二 直线和平面所成的角 直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0 斜线和平面所成的角是 斜线及斜线在平面上的射影所成的角 关键是找准斜线段在平面内的射影 直线与平面垂直 直线和平面所成的角是90 直接法 通常是从斜线上找特殊点 作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之 公式法 求斜线与平面所成的角 还可以利用三面角的余弦公式 注 当余弦值为负值时其对应角为钝角 这不符合定义 故其补角为所求的角 cos cos cos 10 A B 向量法 线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角 线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角 在Rt PAC中 cos 在Rt ABC中 cos 在Rt PAB中 cos cos cos cos 11 2 二面角的平面角的作法 定义法 点P在棱上根据定义作出来 P 作垂面 点P在二面角内作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到 应用三垂线 点A在一个半平面上应用三垂线定理或其逆定理作出来 三 平面和平面所成的角 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面上分别引垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角范围为 00 1800 12 一 作 二 证 三 计算 ABC的边BC在平面 内 A在平面 内的射影是P 设 ABC的面积为S 它和平面 交成二面角 0 90 射影 PBC的面积为S1 求证 S1 Scos 面积射影法 S射 S原cos 1 顶点在棱上 2 两边在两面内 3 两边垂直于棱 注意 二面角的平面角必须满足 S1 S PBC BC PD S2 S ABC BC AD 13 用此公式就可以求出二面角的平面角 异面直线上两点的距离公式 公式法 如图 CBF 为二面角的平面角 在 CBF中 由余弦定理可求得 再由Rt ECF可得 EF2 d2 m2 n2 2mncos 0 180 面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角 技巧 先由直觉判断二面角为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等 向量法 借用公式 14 求二面角方法 应用三垂线 逆 定理法 在二面角 l 的面 上取一点A 作AB 于B BC l于C 则 ACB即为 l 的平面角 作垂面法 作棱的垂面 则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角 向量法 利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得 cos 定义法 以二面角的棱上某一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角即二面角的平面角 公式法 l2 m2 n2 d2 2mncos 15 2 学会求简单的二面角问题 求二面角问题的关键在于确定二面角的平面角 体会到联想 类比及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用 1 平几中 角 联想 类比 立几中的 二面角 平面角 度量 定义法 三垂线法 垂面法 射影法 找出 或作 找出或作出二面角的平面角 证明其符合定义 计算 其格式为 应先定其位 后算其值 其特点 夹议夹叙 3 求二面角大小的步骤为 归纳小结 16 由于 且AC l 则AC 建立如图所示空间直角坐标系 故直线AB与CD所成的角为450 AC l于C BD l于D 则AC 1 BD 1 AD CD 所以A 0 0 1 B 1 0 C 0 0 0 D 0 0 解法一 向量法 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 直线AB与CD所成的角 17 在平面 内过点B作BE DC且BE DC 连结CE EA 则四边形BECD是矩形 所以 ABE就是直线AB与CD所成的角 AB 2 AC l AC AC CE BE AE BE ABC 300 AC 1 同理BD 1 CE 1 AE ABE 450 故直线AB与CD所成的角为450 在Rt AEB中 sin ABE 解法二 平移法 解法三 补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 E 18 B 例1 长方体ABCD A1B1C1D1 AB AA1 2cm AD 1cm 求异面直线A1C1与BD1所成的角 解法一 平移法 如图 连B1D1与A1C1交于O1 取BB1的中点M 连O1M 则O1M D1B O1 M 于是 A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角 或其补角 连A1M 在 A1O1M中 由余弦定理得 A1C1与BD1所成的角为 解法二 补形法 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面BC1的方体B1F 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 19 在 A1C1E中 由余弦定理得 A1C1与BD1所成的角为 B D A C 解法三 向量法 20 D C G F AC AC平面ABC 平面BAC 平面BDC 且交线是BC 过D点作DF BC 垂足为F 则DF 平面BAC 过F点作FG AB 垂足为G 连结DG 则DG AB 所以 DFG二面角C AB D的平面角 故二面角C AB D所成平面角的余弦值为 解法一 垂线法 广州一模 17 本小题满分14分 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 求二面角C AB D所成平面角的余弦值 21 由于D在平面ABC内的射影F在BC边上 ABF为 ABD在平面ABC上的射影 设所求的二面角为 解法二 射影法 D C F 故二面角C AB D所成平面角的余弦值为 广州一模 17 本小题满分14分 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 求二面角C AB D所成平面角的余弦值 22 D C 故二面角C AB D所成平面角的余弦值为 解法三 向量法 广州一模 17 本小题满分14分 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 求二面角C AB D所成平面角的余弦值 23 如图 作CE DF都垂直于所求二面角的棱AB E F是垂足 设所求二面角C AB D的平面角大小为 则 解法四 公式法 D C F E 广州一模 17 本小题满分14分 如图 边长为2的线段AB夹在直二面角 l 的两个半平面内 A B 且AB与平面 所成的角都是300 AC l垂足为C BD l 垂足为D 直线AB与CD所成的角 求二面角C AB D所成平面角的余弦值 24 例题2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD所成的角 解法一 DC 平面BCC1B1 BC1平面BCC1B1 BC1 DC 且BC1 B1C BC1 DC C BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角 BC1 平面B1CDA1 所以 BA1O 300 故A1B与平面A1B1CD所成的角为300 解法二 如图建立空间之间坐标系 设正方体的边长为1 则O 1 B 1 1 0 A1 1 0 1 故A1B与平面A1B1CD所成的角为300 25 例3 如图 斜三棱柱ABC A1B1C1的底面为一等腰直角三角形 直角边AB AC 2cm 侧棱与底面成60 角 BC1 AC BC1 cm 求BC1与底面所成的角 分析 欲求BC1与底面ABC所成的角 关键在于准确地找到BC1在底面上的射影 O x 解 AC AB AC BC1 AC 平面ABC1 于是平面ABC1 平面ABC 作C1O 平面ABC 则点O在平面ABC1和平面ABC的交线BA上 在 OBC1中BC1 已知 在Rt BOC中 BC1与底面所成的角是 注意到AC AB和AC BC1 即AC 平面ABC1 所以 平面ABC1 平面ABC 故点C1在底面上的射影O在平面ABC1和平面ABC的交线BA上 C1BO为所求的角 26 H F 解法一 垂线法 如图 由已知可得平面ABC 平面 作DH BC于H 则DH 平面ABC 作DF AB于F 连HF 则据三垂线定理的逆定理知 DFH为所求二面角的平面角 于是在 DFH中 由余弦定理 得 即面ABD与面ABC所成的二面角为 又知 BAD 45 ABC 30 得 回顾 已知直二面角 l A B 线段AB 2a AB与 成45 的角 与 成30 角 过A B两点分别作棱l的垂线AC BD 求面ABD与面ABC所成角的大小 27 H 由于D在平面ABC内的射影H在BC边上 ABH为 ABD在平面ABC上的射影设所求的二面角为 则有cos S ABH S ABD 代入上式 得 由解法一 易求得 解法二 射影法 故 已知直二面角 l A B 线段AB 2a AB与 成45 的角 与 成30 角 过A B两点分别作棱l的垂线AC BD 求面ABD与面ABC所成角的大小 28 E F 如图 作CE DF都垂直于所求二面角的棱AB E F是垂足 设所求二面角C AB D的平面角大小为 易求DF a EF 0 5a应用公式可得 解法三 公式法 已知直二面角 l A B 线段AB 2a AB与 成45 的角 与 成30 角 过A B两点分别作棱l的垂线AC BD 求面ABD与面ABC所成角的大小 胜利属于自强不息的人 29 2 平移法 3 补形法 1 向