数学问题解答 2000年4月号问题解答 解答由问题提供人给出 12461f n 定义在正整数集合上 且满足f 1 2 f n 1 f n 2 f n 1 n 1 2 3 求证 对所有整数n 1 1 1 22 n 1 1 f 1 1 f 2 1 f n 1 1 22 n 证明 由条件易得 f n 2 又 f n 1 f n f n 1 1 f n 1 1 f n f n 1 于是 1 f n 1 1 1 f n f n 1 1 f n 1 1 f n 即 1 f n 1 f n 1 1 f n 1 1 所以 n k 1 1 f k n k 1 1 f k 1 1 f k 1 1 1 f 1 1 1 f n 1 1 1 1 f n 1 1 下面只要用数学归纳法证明 22 n 1 f n 1 1 22 n n 2时 显然成立 假设n k时 命题成立 则n k 1时 有 f k 2 f k 1 f k 1 1 1根据 归纳假设 22 k 1 f k 1 22 k 1 以及f k 2 22 k 2 2k 1 1 22 k 1 22 k 1 22 k 1 1 命题对于n k 1也成立 证毕 12471D为R t A B C斜边B C上一点 且 A BD 和 A CD的内切圆相等 求证 A B A C 2A D 2 证明 作D E A B于 E D F A C于F 设A B c A C b BD n CD m 依 题意易知A E D F 由D E A C得 D E A C BD B C 即D E BD A C B C nb n m 同理可得D F m c m n 在R t A D E中 有A D 2 D E 2 A E 2 nb n m 2 m c n m 2 n2b2 m 2c2 n m 2 又由于 A BD和 A CD的内切圆相等 而 它们的半径分别为 2S A BD A D c n 2S A CD A D b m 于是有 2S A BD A D c n 2S A CD A D b m 又因为S A BD S A CD n m 所以 n A D c n m A D b m 即 A D m n nb m c A D nb m c m n m n 1 当m n时 则b c且A B A C 2A D 2 2 当m n时 则A D 2 n2b2 m 2c2 n m 2 nb2m c 2 m n 2 化简得 n2b2 m 2c2 1 2 bc m n 2 所以 1 2 bc n2b2 m 2c2 m n 2 A D 2 故 A B A C 2A D 2 12481A D B E CF是 A B C的三条内角平分线 求证 4 5 B F CD A E BD CE A F 5 4 证明 记B C a CA b A B c A B C 内切圆半径为r A D B E CF将 A B C 面积分 成的六个小三角形面积分别记为Si i 1 2 6 742000年 第5期 数学通报 B F A F a b B F A B a a b 而B F A B S CB F S ABC S1 S2 S3 S ABC a a b S1 S2 S3 S AB C 同 理 b b c D C B C S ADC S ABC S3 S4 S5 S A BC c c a A E A C S BA E S AB C S5 S6 S1 S AB C a a b b b c c c a S1 S2 S3 S3 S4 S5 S5 S6 S1 S AB C 1 S1 S3 S5 S AB C 注意 数学通报 1999年9期第1214题的结 论 13 9 a a b b b c c c a 14 9 将 代入 得 4 9 S1 S3 S5 S AB C S1 S2 S3 S4 S5 S6 S1 S3 S5 9 5 亦即 5 4 S2 S4 S6 S1 S3 S5 4 5 4 5 S1 S3 S5 S2 S4 S6 5 4 由于面积为Si的六个小三角形有公共的高 即 A B C的内切圆半径r 故上式可写成 4 5 1 2 r B F CD A E 1 2 r BD CE A F 5 4 4 5 B F CD A E BD CE A F 0 由 3 有 yz 4 n2 4 y z n2x 4 n2 8x n2x 12 n2 所以z 2 yz 12 n2 0 z 23 n 4 若23 n23 314641 时 由 4 有z 1这与z为正整数矛 盾 此时满足 3 的x y z不存在 因而 当n 4 时 n为正整数 满足题设的三角形不存在 若n 3 由 4 有0 z 23 3 2 而z是整数 所以z 1 代入 4 有 y 1 5 代入 3 得x 8 5 这与x为正整数矛盾 因 而 当n 3时满足题设的三角形不存在 若n 2 由 4 有0 z 3 而z是 整数 所以z 1 代入 3 有x y 1 y 1 1 2 y 1 6 由x是正整数 知y 1 1或y 1 2 所以y 2或y 3 当y 2时 x 3 当y 3时 x 2 而x y x 3 y 2 此时 a 3 b 4 c 5 即 当n 3时 满足条件的三角形有且只有一个 其 边长为3 4 5 若n 1 代入 3 有 x yz 4 x y z 7 又由 4 有0 z 23 0 易得y 418 又y 3 y是整数 所以y 3 或y 4 代入 10 得相应的x分别为418 315 这与x为整数矛盾 因此 z 3时满足 7 的 x y z不存在 此时 满足题设的三角形不存在 故当n 1时 满足条件的三角形有五个 其 边长分别为29 25 6 20 15 7 17 10 9 13 12 5 10 8 6 综上述 当n 3时 满足条件的三角形不存 在 当n 2时 满足条件的三角形有且只有一 个 3 4 5 当n 1时 满足条件的三角形有五 个 29 25 6 20 15 7 17 10 9 13 12 5 10 8 6 12501 设 A B C的三边a b c上的高 角平分线 长分别为ha hb hc wa wb wc 外接和内切圆半径 分别为R与r 试证 ha w 2 a 1 R 1 2r 其中 表示三元循环和 证明 记 A B C的面积和半周长分别为 与s 则有 wa 2bc b ccos A 2 2bcs s a b c 1 2 aha abc 4R sr s s a s b s c 于是由上述公式 知 ha w 2 a 2 a 4bcs s a b c 2 b c 2 2abcs s a 1 2 abc 2 b c 2 s s a 1 2 abc s s a s b s c b c 2 s s a 1 2 abc s b s c b c 2 1 8 abc a 2 b c 2 b c 2 1 8 abc a 2 b c 2 b2 c2 2 1 8 abc a2b2 a2c2 2a2bc b4 c4 2b2c2 1 4 abc 2 a2b2 a 4 a 2bc 1 4 abc 16 2 abc a 4 abc a 4 1 R 1 2r 2000年5月号问题 来稿请注明出处 编者 12511 设数列 an 满足 a1 1 且an 1 1 2 an 4 9an 求证对任何n N 数4 9a2n 8为自然 数 方廷刚提供 12521 设a b c是周长为1的三角形的三条边长 试证 a2b b2c c2a 1 8 盛宏礼提供 12531 设四面体A1A2A3A4的外接球与内切球的 半径分别为R与r 则R 3r 邹明提供 12541设ma mb mc分别是 A B C三边a b c上的 中线 且a b a c 求证 mb mc 2ma 1 2 2 a b c 王德文提供 12551 四面体A B CD三组对棱分别为a a b b c c 这三组对棱距离为d1 d2 d3 这三组对棱 中点距离为m1 m2 m3 外接球半径为R 内切球 半径为r 试证 3 i 1 mi di 2 4 R r 2 27 孔令恩提供