数学问题解答 2000年12月号问题解答 解答由问题提供人给出 1286 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB1 BC1 BC1 CA1 CA1 AB1试证 该棱柱是正 棱柱 浙 江 省 湖 州 市 双 林 中 学 李 建 潮 313012 证明 先由AB1 BC1 BC1 CA1证 AB AC 在底面ABC内作 AD BC于D 底面ABC 侧 面B1BCC1 AD 侧 面 B1BCC1 知B1D是AB1在侧面B1BCC1上的射影 BC1 AB1 BC1 B1D 又在底面A1B1C1内A1D1 B1C1于D1 同理可证A1D1 侧面B1BCC1 且BC1 CD1 B1D CD1 又 B1D1 DC B1DCD1是平行四边形 得 B1D1 DC 又由 及AA1 侧面B1BCC1知AD A1D1 四边形AA1D1D是平行四边形 DD1 AA1 又 BB1 AA1 DD1 BB1 四边形B1BDD1是平行四边 形 B1D1 BD 由 知 BD DC 又 AD BC AB A C 同理可证 BA BC 所以 ABC是正三角形 因此 直三棱柱ABC A1B1C1是正棱柱 1287 设P1 P2 P3分别为正 ABC三边AB BC CA上的点 A P1 B P2 CP3 直线l为过 正 ABC外接圆上任一点P的切线 试证 P1 P2 P3三点到l距离之和为定值 湖南东安一中 陈世明 425900 证明 引理 设梯形ABCD的上下两底边长分别 为AB a CD b 一 平行于两底的截线段EF 将梯形的两腰分成上下两段之比为 则 EF a b 1 事实上 不妨设a 0 x2 0 则AB x 1 x2 2 3x1 3x2 2 1 即 4 x 2 1 x 2 2 x1x2 1 2x1 x2 2 3x2 2 1 令 2x1 x2 sin 3x2 cos x2 cos 3 x1 sin 2 cos 23 3 3 sin 30 又x1 0 x2 0知2k 6 2k 2 k Z 又A C 由AB 逆时针旋转90 绕A 并AC 2AB所得 ZAC ZAB 2 2 cos90 isin90 ZA ZC 2i Z A ZB ZC ZA 2i ZA ZB x1 i3x1 2i x1 x2 3x1i 3x2 i x1 2 3x1 2 3x2 3x1 2x1 2x2 i 即yc 2x1 3x1 2x2 sin cos 3 3 2 sin cos 2 23 3 cos 1 3 2 sin 1 2 3 cos 2k 6 0 且xyz 1 证明不等式 链 x2 y z y2 z x z2 x y 1 2 x2 y2 x y y2 z2 y z z2 x2 z x x y z 2 3 2 河北省南宫中学 孙志坤 055750 842001年 第1期 数学通报