季延中学2019年春高二年期中考试理科数学试卷考试时间：120分钟 满分150分一、单选题(每题5分)1已知随机变量X的分布列为，则为（）A B C D2等于（ ） A990 B165 C120 D553下列说法错误的是（ ）A在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，4一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X12)等于( )A B C D5设，则的值为（ ）A B C1 D26将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入袋中的概率为 （ ）A B C D7甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，两人考试时相互独立互不影响，记x表示两人中通过雅思考试的人数，则x的方差为（ ）A0.41 B0.42 C0.45 D0.468随机变量x服从正态分布，则的最小值为（ ）A B C D9一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲乙)应为()A61 B71 C31 D4110已知是上的两个随机数，则满足的概率为（ ）ABCD11黄冈市有很多处风景名胜，仅4A级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有（ ）种安排方法A90 B60 C210 D15012某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元99.29.49.69.810销量件1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）（附：对于一组数据，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）A9.4元 B9.5元 C9.6元 D9.7元二、填空题（每题5分，共20分）13的展开式中，的系数为_14（e为自然对数的底数）_15一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回重复50次这样的实验记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是_16将1，2，3，a,b,c排成一排，则字母a不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是_.3、 解答题(共70分)17（本题10分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项. 18（本题12分）2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格1与格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（中位：斤）.体重不超过19.6斤的为合格.（1）从格1与格2分别随机抽取2个婴儿，求格1至少一个婴儿体重合格且格2至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（3）若从格1与格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X表示格2内婴儿的个数，求X的分布列与数学期望.19（本题12分）春节来临，有农民工兄弟、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.20. （本题12分）如图，四棱锥，为等边三角形，平面平面， 为中点(1) 求证：平面 ；(2)求二面角的余弦值21（本题12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？22（本题12分）设函数 ，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求证：高二理科数学期中考卷参考答案一、CBBDA DADBB DB二、填空题30 12 三、解答题17.【答案】（1）； （2），； (3).【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，.（3）设展开式中第项的系数最大，则 ，故系数最大项为.18.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，则所求概率.（2）设事件表示“2个合格，2个不合格”；事件表示“3个合格，1个不合格”； 事件表示“4个全合格”；事件表示“抽检通过”；事件表示“抽检良好”.，则所求概率.（3）由题意知，的所有可能取值为0,1,2.，的分布列为 .19.（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是 联立方程 ，解得（2） 9分 的分布列为01234. 18 (1)证明：因为， 所以， 又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，2分因为为中点，且为等边三角形，所以，3分又，所以平面 . ,.4分(2)解法一：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，由平面平面，因为平面，所以平面，5分所以，由，xyzO可知，所以以中点O为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分所以则，因为为中点，所以，由 (1) 知，平面的一个法向量为.7分设平面的法向量为，由得，取，则，9分由.11分因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.12分解法二： 取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，由平面平面，所以平面，5分所以，由，可知，所以以中点O为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.6分xyzO所以，所以，由(1)知，可以为平面PBC的法向量，因为为的中点，所以，由(1)知，平面PBC的一个法向量为，7分设平面PCD的法向量为，由得，取，则，9分所以11分因为二面角为钝角，所以，二面角余弦值为12分第18题图HO解法三：过点作的垂线，交于点，连结.由解法一或二知平面，平面，所以.由条件知，又，所以平面，又平面，所以，又，所以，所以，由二面角的定义知，二面角的平面角为.7分在中，由，所以.同理可得，9分又.在中，=10分所以，二面角的余弦值为.12分21.【答案】(1) (2)第一种抽奖方案.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.即，所以该超市应选择第一种抽奖方案22【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.【解析】（1）， 设，当时，；当时，由得或，记 则，当时，当时， 当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）不妨设，由已知得，即，两式相减得， 要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证， 设，只需证，在上单调递增，得证【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.12