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福建省福州市三校联盟(连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学)2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出集合B,根据交集的定义计算即可。【详解】依题意,所以故选C【点睛】本题考查集合的交集运算,属基础题2.设向量,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的公式,计算即可。【详解】依题意,解得故选D【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,属基础题。3.下列不等式正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可【详解】选项:当时,因此不正确;选项:取,则不成立;选项:由知,故,所以,正确;选项:时不成立综上可得:只有正确【点睛】本题考查不等关系和不等式的性质,考查分析推理的能力,属基础题。4.函数的大致图象是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 ,可得 , 是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当时, ,令 得:,得出函数在上是增函数,排除B,故选A.点睛:在解决函数图象问题时,主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据,得出是奇函数,其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性,从而得出正确选项5.已知函数在定义域上是减函数,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性可得,计算求解即可。【详解】依题意,所以,解得故选A【点睛】本题考查函数单调性的应用,属基础题。6.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得:,结合对数函数的单调性即可求解。【详解】方法一:依题意,因为,所以,即方法二:依题意,因为,所以,所以【点睛】本题考查对数的化简,对数函数单调性的应用,属基础题。7.函数 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】根据图象可得,则根据五点法作图可得,则故将函数向右平移个单位长度,可得故选A8.等比数列满足,则数列的前10项和是( )A. -35B. -25C. 25D. 35【答案】C【解析】【分析】依题意,根据等比数列的公式,可求得 ,代入即可求出,结合等差数列前n项和公式即可求解。【详解】设等比数列的公比为,则 ,解得,所以 ,所以,所以数列的前10项和故选C。【点睛】本题考查等比数列通项公式,等比数列与等差数列的转化,等差数列前n项和的求法,考查计算分析,化简求值的能力,属中档题。9.如图,一栋建筑物的高为 ,在该建筑物的正东方向有一个通信塔,在它们之间的地面点(三点共线)处测得楼顶,塔顶的仰角分别是和,在楼顶处测得塔顶C的仰角为,则通信塔的高为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可.【详解】作AECD,垂足E,则:在AMC中,AM=20,AMC=105,ACM=30,AC=60+20,CD=30-10+AC=60m.本题选择B选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤:(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.如图,已知直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱),点分别在侧棱和上,平面把三棱柱分成上、下两部分,则上、下两个几何体的体积比为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接,三棱柱可分割为:,三部分,分析可得三部分体积相等,整理即可求解。【详解】设直三棱柱的体积为,连接,点、分别在棱和上,四棱锥的,的底面积相等,把直三棱柱分割为:,三棱锥的为,四棱锥,的体积之和为:,四棱锥的,的底面积,高相等四棱锥的,的体积相等,即为,棱锥,的体积相等,为,平面把三棱柱分成两部分的体积比为【点睛】本题考查椎体体积的求法,考查空间想象能力,计算推理的能力,属中档题11.在中,是边上一点,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设,则,在中,由正弦定理得,在中,同理可得,化简整理可得结果。【详解】设,则在中,由正弦定理得,即,同理,在中,得,故,即,故所以。【点睛】本题考查正弦定理的应用,要点在于对两个三角形分别应用正弦定理,联立求解,考查计算化简的能力,属中档题。12.已知函数若存在正实数,使得方程有三个互不相等的实根,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方程可化为,令,可求得的解析式,并做出图像,若方程有三个互不相等的实根,则函数与直线有3个交点,根据二次函数的图像与性质,即可求解。【详解】方程可化为,令,则,做出的图像,如图所示,由图可知,若方程有三个互不相等的实根,则函数与直线有3个交点,则不妨设,由二次函数图像关于直线对称可知, 令,得,所以,所以【点睛】本题考查分段函数解析式求法及其图像的作法,函数与方程的综合应用,考查分析求解的能力,数形结合、转化化归的思想,属中档题。第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设的内角的对边分别为,若,则的最大内角的值为_【答案】【解析】【分析】根据大边对大角的原则可知为最大角,根据余弦定理,代入即可求解。【详解】因为,所以为最大角,由余弦定理得,因为,所以【点睛】本题考查余弦定理的应用,属基础题。14.已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则该长方体的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】分析可得,长方体的体对角线即为外接球直径,代入数据即可求解。【详解】长方体的体对角线即为外接球直径,所以外接球的表面积为【点睛】本题考查长方体的外接球问题,重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径,属基础题。15.点是平行四边形所在平面上一点,且,若,则_【答案】【解析】【分析】根据题意以为轴建立直角坐标系,可求出各点坐标,设,因为,所以,即可得,即可求出、的坐标,代入向量的数量积公式,即可求解。【详解】方法一:如图,以为轴建立直角坐标系,由题意可得各点坐标如下:,设,因为,所以,所以解得即,所以,所以 方法二:因为,所以,所以,所以;所以【点睛】本题考查向量在几何中的应用,优先使用向量的坐标形式计算,考查分析计算的能力,属基础题。16.已知,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】因为=1,结合均值不等式,整理即可得结果。【详解】因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立所以【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,均值不等式“1”的活用,考查分析计算,化简求值的能力,属中档题。三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知是递增的等差数列,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)的根为x=2或x=4,根据题意可得,根据等差数列的公式,代入即可求解。(2)由(1)可得,根据裂项相消求和法,即可求得的前项和【详解】(1)方程可化为,解得,或, 由题意是递增的等差数列可得,设等差数列的公差为,则, 所以 (2)由(1)及题意得, 所以 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法,裂项相消法求和,考查计算推理,化简求值的能力,属基础题。18.如图,在中,为边上一点,为等边三角形,.(1)若的面积为,求;(2)若,求【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)因为,所以,又因为为等边三角形,即可求出。(2)设,则,在中,根据余弦定理,可解得,在中,根据正弦定理,即可求解。【详解】(1)因为,所以, 另一方面, 所以,故 (2)设,则, 在中,由余弦定理得,即,解得, 所以 在中,由正弦定理,得, 所以【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,三角形面积公式的应用,意在考查学生基础知识掌握的程度,考查计算分析,化简求值的能力,属基础题。19.已知函数(1)求的最小正周期及单调减区间;(2)若,求的值【答案】(1)的最小正周期,的减区间为,(2)【解析】【分析】(1),根据正弦型函数的性质即可求解。(2)由,可得,令,则,代入所求,结合二倍角公式,即可求解。【详解】(1), 所以的最小正周期, 由,得, 所以的减区间为, (2)由,得,即, 令,则,且,所以 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间,周期的求法,三角函数的化简求值,综合性较强,意在考查学生对这些基础知识理解水平和掌握程度,属中档题。20.如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分,这两栏的面积之和为,四周空白的宽度为,两栏之间的中缝空白的宽度为,设广告牌的高为(1)求广告牌的面积关于的函数;(2)求广告牌的面积的最小值【答案】(1)(2)广告牌面积的最小值为【解析】【分析】(1)设广告牌的宽为,根据题意可求出,所以广告牌的面积(2),根据均值定理,即可求解。【详解】(1)依题意设广告牌的宽为,则, 所以,且, 所以广告牌面积,(2)由(1)知, , 当且仅当,即时等号成立 所以,答:广告牌的面积的最小值为【点睛】本题考查应用基本不等式解决实际问题,合理利用基本不等式是解题的关键,着重考查了分析推理,计算求值的能力,属基础题。21.已知的内角的对边分别为,且(1)求角的大小;(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得,结合C的范围,化简整理,即可求解。(2)由正弦定理得,所求,又为锐角三角形,可求得,根据的单调性,即可求解。【详解】(1)由题意及正弦定理得, 所以, 因为,所以,所以,故 (2)由正弦定理得,所以,所以 , 由得, 所以,故, 所以的取值范围为
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