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福建省福州市三校联盟(连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学)2018-2019学年高一数学下学期期中试题第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合,则ABCD2. 设向量,若,则ABCD3. 下列不等式正确的是A若,则B若,则C若,则D若,则4. 函数的大致图象是 ABCD5. 已知函数在定义域上是减函数,则不等式的解集为ABCD6. 已知,则ABCD7. 函数()的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象 A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度8. 等比数列满足,则数列的前10项和是ABC25D359. 如图,一栋建筑物的高为,在该建筑物的正东方向有一个通信塔,在它们之间的地面点(三点共线)处测得楼顶,塔顶的仰角分别是和,在楼顶处测得塔顶C的仰角为,则通信塔的高为 A B C D10. 如图,已知直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱),点分别在侧棱和上,平面把三棱柱分成上、下两部分,则上、下两个几何体的体积比为ABCD11. 在中,是边上一点,则ABCD12. 已知函数若存在正实数,使得方程有三个互不相等的实根,则的取值范围是() ABCD第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设的内角的对边分别为,若,则的最大内角的值为14. 已知长方体的长、宽、高分别为,则该长方体的外接球的表面积为15.点是平行四边形所在平面上一点,且,若,则16. 已知,则的最小值为三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知是递增的等差数列,是方程的根(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和18.(本小题满分12分)如图,在中,为边上一点,为等边三角形,(1)若的面积为,求;(2)若,求19.(本小题满分12分)已知函数(1)求的最小正周期及单调减区间;(2)若,求的值20.(本小题满分12分)如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分,这两栏的面积之和为,四周空白的宽度为,两栏之间的中缝空白的宽度为,设广告牌的高为(1)求广告牌的面积关于的函数;(2)求广告牌的面积的最小值21.(本小题满分12分)已知的内角的对边分别为,且(1)求角的大小;(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围22.(本小题满分12分)设数列的前项和为,已知(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前项和福州三校联盟20182019学年度第二学期期中联考高一数学参考答案及评分细则一、选择题 CDCBA BACBA AD1 【答案】C【解答】依题意,所以2 【答案】D【解答】依题意,解得3 【答案】C【解答】当时,因此不正确;B.取,则不成立;C由知,故,所以,正确;D.时不成立综上可得:只有C正确4 【答案】B【解析】解:,所以是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D;当时,当时,当时,故选:B5 【答案】A【解答】依题意,所以,解得6 【答案】B【解答】方法一:依题意,因为,所以,即方法二:依题意,因为,所以,所以7 【答案】A【解答】方法一:由图可得,则,再根据五点法作图可得,求得,故因为将函数的图象向左平移个单位,可得的图象,故为了得到的图象,只要将的图象向右平移个单位方法二:易知与的周期相同,振幅相等,若将图象的最高点移至图象的最高点处,则两图象重合故只要将的图象向右平移个单位长度,即可得到的图象8 【答案】C【解答】设等比数列的公比为,则解得所以,所以,所以数列的前10项和9 【答案】B【解答】方法一:在中,在中,故,由正弦定理,故在中,()方法二:过点作,垂足为在中,在在中,故,由正弦定理,故在中,所以()10 【答案】A【解答】设直三棱柱的体积为V,连接,点P、Q分别在棱和上,四棱锥的,的底面积相等,把直三棱柱分割为:,三棱锥的为,四棱锥,的体积之和为:,四棱锥的,的底面积,高相等四棱锥的,的体积相等,即为,棱锥,的体积相等,为,平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2:111 【答案】A【解答】方法一:设,则在中,由正弦定理得,即,同理,在中,得,故,即,故方法二:依题意,为的平分线,所以,设,则,在中,由余弦定理得,即,解得,在中,由正弦定理得,即,解得,又,所以12 【答案】D【解答】方程可化为,令,则作出的图象,如图所示,由图可知,若方程有三个互不相等的实根,则函数与直线有3个交点,则不妨设,由二次函数图象关于直线对称可知,令,得,所以,所以二、填空题13 14 15 1613 【答案】【解答】因为,所以为最大角,由余弦定理得,因为,所以14 【答案】【解答】长方体的体对角线即为外接球直径,所以外接球的表面积为15 【答案】【解答】方法一:如图,以为轴建立直角坐标系,由题设可得各点坐标如下:,设,因为,所以,所以解得即,所以,所以方法二:因为,所以,所以,所以;所以16 【答案】【解答】因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立又因为,所以三、解答题17 【解答】(1)方程可化为,解得,或,2分由题设得,3分设等差数列的公差为,则,4分所以5分(2)由(1)及题设得,7分所以 9分 10分注:或均可18 【解答】(1)因为,所以,1分另一方面,3分所以,故5分(2)设,则,6分在中,由余弦定理得,即,解得,8分所以9分在中,由正弦定理,得,11分所以12分19 【解答】(1)2分,3分所以的最小正周期,4分由,得,5分所以的减区间为,6分注:未写扣1分,但不重复扣分,即本小题漏写仅扣1分(2)由,得,即,7分令,则,且,所以, 9分 10分 11分 12分注:未用换元法的请对照相应步骤给分20 【解答】(1)依题意广告牌的高为,则,2分所以,且,4分所以广告牌的面积(),6分(2)由(1)知, 8分 ,10分当且仅当,即时等号成立11分所以,答:广告牌的面积的最小值为12分注:未注明取等号条件,最后2分得分点均不给分21 【解答】解法一:(1)由题设及正弦定理得,2分所以,4分因为,所以,所以,故5分(2)由正弦定理得,所以,6分所以 ,7分 8分 ,9分由得,10分所以,故,11分所以的取值范围为12分22 【解答】(1)因为,所以,2分所以,故,4分由,得,5分所以数列是等比数列,其首项为1,公比为6分(2)由(1)知,故,7分所以 ,所以,8分得,9分 10分 ,11分所以12分12
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