2用公式法求面积和体积 2.1 直接用公式求面积与体积【例1】（南京市、盐城市2015届第一次模拟考试）如图2-1在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧棱底面，为的中点，则四面体的体积为 【解析】显然面，底面的面积为所以【评注】直接给出高的三棱锥的体积计算，确定底面面积和高， 图2-1用公式V柱体或V锥体； V台体(SS)h；V圆台h(r2rrr2)求解，关键是合理选择底面寻求顶点在底面上的射影算高求体积.【变式1】求三棱锥的体积求四棱柱的体积一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图2-2所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，AEF = 90，AE = a，EF = b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 【解析】设AB = x，由，得，则由，得则此正四棱柱的体积为图2-2 图2-3 图2-4【变式2】求三棱锥的体积求圆锥的体积半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是 .【变式2】答案【解析】设圆锥的底面半径为r,如图2-3则,圆锥的高,【变式3】求三棱锥的体积求三棱柱的体积(2015南京调研) 如图2-4，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_【变式3】答案8【解析】 设ACa，CC1b，则由BC12BC 2CC12，BC12DC12DB 2，即得(a2b2)2a2b2，得b22a2，又a26，a28，V848.【变式4】求三棱锥的体积求圆柱和圆锥组合体的体积(2014天津）一个儿何体的三视图如图2-5所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.【变式4】答案 【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V124222.图2-5 图2-6 图2-7【变式5】求三棱锥的体积求球的体积 (2013高考新课标全国卷理科6)如图2-6所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为A B C D 【变式5】答案A 【解析】如图作出球的一个截面，如图2-7.则，设球的半径为，则球的截面圆的半径是，且球心到该截面的距离是，在中，所以，所以选A【变式6】求三棱锥的体积求正六棱柱的体积（2015南京市第3次模拟）已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 【变式6】答案12【解析】 由己知正六棱锥的高为，底面面积为，所以.【变式7】求三棱锥的体积求圆锥的体积 （15年高考全国1） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图2-8，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【变式7】答案B 图2-8【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.2.2 通过算垂直找高用公式求体积【例2】 等腰直角三角形BCD的腰长为2，点C沿斜边BD翻折到点A，翻折后如图2-9所示，O为BD的中点，若AC=2，则三棱锥A-BCD的体积为 【解析】 选底面BCD寻求三棱锥的定点A在底面上的射影，由题意知， AB=AD=CB=CD=2，从而根据等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形 图2-9ABD可求得，又，所以在AOC中，所以AOCO因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，所以AOBD根据直线与平面垂直的判定定理得直线AO平面BCD，则其体积为【评注】对于三棱锥的体积问题，可以任选一面作底面，然后求出已知该底面对应的高在该题中由于三角形ABC的面积已知，故可以重点探求其对应的高，作辅助线证明DO垂直底面ABC即可，在此处利用了勾股定理逆定理证明线线垂直【变式1】求三棱锥的体积求从顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥体积 (2015杭州模拟)如图,在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EFDE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是()A. B. C . D. 【变式1】答案A【解析】 根据EF与DE的垂直关系,证明ACDE,由正 图2-10三棱锥对棱互相垂直可得到ACDB.,于是有AC平面ABD，注意正三棱锥A-BCD的特征可知，从A出发的三条侧棱两两垂线垂直且底面为边长为1的正三角形，于是有, 所以.【变式2】求三棱锥的体积求正三棱锥的体积已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的体积为_【变式2】答案9 【解析】根据题意该几何体为正三棱锥，如图2-11，设棱长为a，展开图是有四个与全等的正三角形组组合而成的边长为2a的大正三角形.则外接圆的半径是OP ，PDa，ODa，OPa.ODPDaaa2a3， 图2-11V棱锥a2a9.【变式3】求三棱锥的体积求四棱锥的体积 如图2-12，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3.【变式3】答案 8【解析】 利用直四棱柱的特征确定顶点的射影直找高用公式求体积，关键是求出四棱锥ABB1D1D的高 边上的高是cm（它也是中上的高），四棱锥 图2-12的体积为 (cm3)【变式4】求三棱锥的体积求四棱锥的体积 直三棱柱ABC的体积为V，点P、Q分别在侧棱和上如图2-13，AP=，则四棱锥BAPQC的体积为（ ） 图2-13A B C D【变式4】答案B【解析】用直棱柱底面上的点在侧面上的找高射影在其交线上直用公式求体积取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C的距离为h，则 .2.3 通过分割法直用公式求体积比 图2-14【例2】 ( 2015杭州市高三月考) 如图2-14，在四棱锥中，底面是平行四边形，点为的中点，则面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为 【解析】设棱锥的底面的面积为，高为，所以上下两部分体积之比为；【评注】对于体积比的问题，合理设元沟通关系分割成常见的规则体直用公式，利用加减法得到锥体与非规则体的体积比。 【变式1】（14江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 【变式1】答案【解析】因为，所以，又圆柱的侧面积，则，【变式2】求三棱锥与三棱锥的体积比(2013高考江苏)在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_【变式2】答案124.【解析1】 连接A1C，A1B，则V1VA1ABC，而VA1ABCV2，V1V2.【解析2】若三棱柱A1B1C1ABC为正三棱柱，设AB2，AA12.则V2Sh2222，V11，V1V2124.【变式3】求解锥体与非规则体的体积比棱台与棱台的体积比棱台上、下底面面积之比为,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 【变式3】答案C 【解析】台补锥，特殊化处理求体积比。取中截面的面积为个单位，则有 相似比为1：2：3， 体积比1：8；27，则中截面分棱台成两部分的体积之比7：19，或选C.6