1 函数的概念与性质函数的概念与性质 20092009 年高考题年高考题 1 2009 全国卷 理 函数 f x的定义域为 R 若 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 则 A f x是偶函数 B f x是奇函数 C 2 f xf x D 3 f x 是奇函数 答案 D 解析 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数 f x关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数 f x是周期2 1 1 4T 的周 期函数 14 14 fxf x 3 3 fxf x 即 3 f x 是奇函 数 故选 D 2 2009 浙江理 对于正实数 记M 为满足下述条件的函数 f x构成的集合 12 x x R且 21 xx 有 212121 xxf xf xxx 下列结论中正确 的是 A 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM B 若 1 f xM 2 g xM 且 0g x 则 1 2 f x M g x C 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM D 若 1 f xM 2 g xM 且 12 则 12 f xg xM 答案 C 解析 对于 212121 xxf xf xxx 即有 21 21 f xf x xx 令 21 21 f xf x k xx 有k 不妨设 1 f xM 2 g xM 即有 11 f k 22g k 因此有 1212fg kk 因此有 12 f xg xM 3 2009 浙江文 若函数 2 a f xxa x R 则下列结论正确的是 A a R f x在 0 上是增函数 2 B a R f x在 0 上是减函数 C a R f x是偶函数 D a R f x是奇函数 答案 C 命题意图 此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识 通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问 解析 对于0a 时有 2 f xx 是一个偶函数 4 2009 山东卷理 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 答案 A 解析 函数有意义 需使0 xx ee 其定义域为 0 xx 排除 C D 又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当0 x 时函数为减函数 故选 A 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的 难点在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 5 2009 山东卷理 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 则 f 2009 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 C 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 3 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 故选 C 命题立意 本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 6 2009 山东卷文 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 答案 A 解析 函数有意义 需使0 xx ee 其定义域为 0 xx 排除 C D 又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当0 x 时函数为减函数 故选 A 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的难 点在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 7 2009 山东卷文 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x x 0 2 1 0 4 log2 xxfxf xx 则 f 3 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 答案 B 解析 由已知得 2 1 log 5f 2 0 log 42f 2 1 0 1 2log 5fff 2 2 1 0 log 5fff 22 3 2 1 log 5 2log 5 2fff 故选 B 命题立意 本题考查对数函数的运算以及推理过程 8 2009 山东卷文 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上 是增函数 则 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 4 答案 D 解析 因为 xf满足 4 f xf x 所以 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期 的周期函数 则 1 25 ff 0 80 ff 3 11 ff 又因为 xf在 R 上是 奇函数 0 0f 得0 0 80 ff 1 1 25 fff 而由 4 f xf x 得 1 41 3 3 11 fffff 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所以0 0 1 ff 所以0 1 f 即 25 80 11 fff 故选 D 命题立意 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 周期性等性质 运用化归的数学思 想和数形结合的思想解答问题 9 2009 全国卷 文 函数 y x x 0 的反函数是 A 2 yx x 0 B 2 yx x 0 B 2 yx x 0 D 2 yx x 0 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法 由原函数 x 0 可知 AC 错 原函数 y 0 可知 D 错 10 2009 全国卷 文 函数 y 2 2 log 2 x y x 的图像 A 关于原点对称 B 关于主线yx 对称 C 关于y轴对称 D 关于直线yx 对称 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识 由于定义域为 2 2 关于原点对称 又 f x f x 故函数为奇函数 图像关于原点对称 选 A 11 2009 全国卷 文 设 2 lg lg lg ae bece 则 A abc B acb C cab D cba 答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性 由 1 lge 0 知 a b 又 c 2 1 lge 作商比较知 c b 选 B 12 2009 广东卷 理 若函数 yf x 是函数 0 1 x yaaa 且的反函数 其图 5 像经过点 a a 则 f x A 2 log x B 1 2 log x C 1 2x D 2 x 答案 B 解析 xxf a log 代入 a a 解得 2 1 a 所以 f x 1 2 log x 选 B 13 2009 广东卷 理 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直 线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为vv乙 甲和 如图 2 所示 那么对于图中给定的 01 tt和 下列判断中一定正确的是 A 在 1 t时刻 甲车在乙车前面 B 1 t时刻后 甲车在乙车后面 C 在 0 t时刻 两车的位置相同 D 0 t时刻后 乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知 曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t 0 1 t与x轴所围成图形面积大 则在 0 t 1 t时刻 甲车均在乙车前面 选 A 14 2009 安徽卷理 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 答案 C 解析 32 yxaxab 由 0y 得 2 3 ab xa x 当xa 时 y取极 6 大值 0 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 故选 C 或当xb 时0y 当xb 时 0y 选 C 15 2009 安徽卷文 设 函数的图像可能是 答案 C 解析 可得 2 0 xa xbyxaxb 为的两个零解 当xa 时 则 0 xbf x 当axb 时 则 0 f x 当xb 时 则 0 f x 选 C 16 2009 江西卷文 函数 2 34xx y x 的定义域为 A 4 1 B 4 0 C 0 1 D 4 0 0 1 答案 D 解析 由 2 0 340 x xx 得40 x 或01x 故选 D 17 2009 江西卷文 已知函数 f x是 上的偶函数 若对于0 x 都有 2 f xf x 且当 0 2 x 时 2 log 1f xx 则 2008 2009 ff 的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 解析 12 22 2008 2009 0 1 loglog1ffff 故选 C 18 2009 江西卷文 如图所示 一质点 P x y在xOy平面上沿曲线运动 y xO P x y 0 Q x y xO P x y 0 Q x 7 速度大小不 变 其在x轴上的投影点 0 Q x的运动速度 VV t 的图象 大致为 A A B B C C D D 答案 B 解析 由图可知 当质点 P x y在两个封闭曲线上运动时 投影点 0 Q x的速度先 由正到 0 到负数 再到 0 到正 故A错误 质点 P x y在终点的速度是由大到小 接近 0 故D错误 质点 P x y在开始时沿直线运动 故投影点 0 Q x的速度为常 数 因此C是错误的 故选B 19 2009 江西卷理 函数 2 ln 1 34 x y xx 的定义域为 A 4 1 B 4 1 C 1 1 D 1 1 答案 C 解析 由 2 101 11 41340 xx x xxx 故选 C 20 2009 江西卷理 设函数 2 0 f xaxbxc a 的定义域为D 若所有点 s f ts tD 构成一个正方形区域 则a的值为 A 2 B 4 C 8 D 不能确定 答案 B 解析 12max xxfx 22 2 44 4 bacacb aa 2aa 4a 选 B 21 2009 天津卷文 设函数 0 6 0 64 2 xx xxx xf则不等式 1 fxf 的解集是 O V t tO V t t O V t t O V t t 8 A 3 1 3 B 2 1 3 C 3 1 1 D 3 1 3 答案 A 解析 由已知 函数先增后减再增 当0 x 2 xf3 1 f令 3 xf 解得3 1 xx 当0 x 3 36 xx 故3 1 fxf 解得313 xx或 考点定位 本试题考查分段函数的单调性问题的运用 以及一元二次不等式的求解 22 2009 天津卷文 设函数 f x 在 R 上的导函数为 f x 且 2f x xf x x 2 x 下面 的不等式在 R 内恒成立的是 A 0 xf B 0 xf C xxf D xxf 答案 A 解析 由已知 首先令0 x 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式的特点 考 查了分析问题和解决问题的能力 23 2009 湖北卷理 设 a 为非零实数 函数 11 1 ax yxRx axa 且的反函数是 A 11 1 ax yxRx axa 且 B 11 1 ax yxRx axa 且 C 1 1 1 x yxRx ax 且 D 1 1 1 x yxRx ax 且 答案 D 解析 由原函数是 11 1 ax yxRx axa 且 从中解得 1 1 1 y xyRy ay 且即原函数的反函数是 1 1 1 y xyRy ay 且 故 选择 D 24 2009 湖北卷理 设球的半径为时间t的函数 R t 若球的体积以均匀速度c增长 则球的表面积的增长速度与球半径 A 成正比 比例系数为C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为C D 成反比 比例系数为 2C 答案 D 9 解析 由题意可知球的体积为 3 4 3 V tR t 则 2 4 cV tR t R t 由此可 4 c R t R t R t 而球的表面积为 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 22 8 2 4 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 故选 25 2009 四川卷文 已知函数 xf