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高考中的类比推理大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。例1、(2006湖北)半径为r的圆的面积,周长,若将r看作上的变量,则, ,式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作看作上的变量,请你写出类似于的式子:_,式可用语言叙述为_.解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立,.答案: 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2(2000年上海高考第12题)在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1a2an=a1a2a19n(n19,nN*)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列bn中,若b9=1,则有等式 成立。分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列an前19项中,其中间一项a10=0,则a1a19= a2a18= ana20n= an1a19n=2a10=0,所以a1a2ana19=0,即a1a2an=a19a18an1,又a1=a19, a2=a18,a19n=an1, a1a2an=a19a18an1= a1a2a19n。相似地,在等比数列bn的前17项中,b9=1为其中间项,则可得b1b2bn= b1b2b17n(n17,nN*)。例3(2003年全国高考新课程卷文科第15题)在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2AC2= BC2。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则 _”。分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性),像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有SABC2SACD2SADB2= SBCD2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在RtABC中,过A作AHBC于H,则由AB2=BHBC,AC2=CHBC相加即得AB2AC2=BC2;在三侧面两两垂直的三棱锥ABCD中,过A作AH平面BCD于H,类似地由SABC2=SHBCSBCD,SACD2=SHCDSBCD,SADB2=SHDBSBCD相加即得SABC2SACD2SADB2= SBCD2。例4、(2006上海)已知函数有如下性质:如果常数ao,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。(1) 如果函数的值域为,求b的值;(2) 研究函数(常数在定义域内的单调性,并说明理由;(3) 对函数和(常数作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明)。解:(1)函数在上是减函数,在上是增函数,所以该函数在处取得最小值 令,得(2)设,显然函数在上是减函数,在上是增函数,令得,令得或又因为在上是减函数,在上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数,上是增函数。 (3)推广结论:当n是正奇数时,函数(常数是奇函数,故在上是增函数,在是减函数,在上是减函数,在上是增函数。而当n为正偶数时,函数(常数是偶函数,在上是减函数,在是增函数,在上是减函数,在上是增函数。点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数的单调性、最值,考查分析解决问题的能力。2用心 爱心 专心
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