资源预览内容
第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
亲,该文档总共8页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标:等差数列与等比数列性质的综合应用二、自主学习:【课前检测】1.x=是a、x、b成等比数列的( D )条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要2等比数列中,若,则等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)42直面考点:1)等比数列的定义;2)等比数列的通项公式。略解:3若数列(*)是等差数列,则有数列(*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列是等比数列,且(*),则有(*)也是等比数列4设和分别为两个等差数列的前项和,若对任意,都有 ,则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是 说明:【考点梳理】1.基本量的思想:常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。解读:“知三求二”。2.等差数列与等比数列的联系1)若数列是等差数列,则数列是等比数列,公比为,其中是常数,是的公差。(a0且a1);2)若数列是等比数列,且,则数列是等差数列,公差为,其中是常数且,是的公比。3)若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等 差 数 列等 比 数 列定义an为等差数列an+1-an=d(常数),nN+2an=an-1+an+1(n2,nN+)通项公式=+(n-1)d=+(n-k)d()求和公式中项公式等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=;a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件. an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件.重要性质1(反之不一定成立);特别地,当时,有;特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。若m、n、l、kN*,且m+n=k+l,则aman=akal,反之不成立.特别地,。另:即:首尾颠倒相乘,则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等差数列,公差为md.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等比数列,公比为qm.3 成等差数列。成等比数列。三、合作探究:例1 (2010陕西文16)已知an是公差不为零的等差数列,a11,且a1,a3,a9成等比数列.()求数列an的通项;()求数列2an的前n项和Sn.解:()由题设知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比数列得,解得d1,d0(舍去), 故an的通项an1+(n1)1n.()由()知=2n,由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.变式训练1 (2010北京文16)已知an为等差数列,且,。()求an的通项公式;()若等比数列满足,求的前n项和公式解:()设等差数列的公差。 因为 所以 解得所以 ()设等比数列的公比为。 因为所以即=3。 所以的前项和公式为小结与拓展:数列是等差数列,则数列是等比数列,公比为,其中是常数,是的公差。(a0且a1).题型2 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 (2009广东三校一模)数列an是公差大于零的等差数列,,是方程的两根。数列的前项和为,且,求数列,的通项公式。解:由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, 变式训练2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同,且a12a222a32n1an8n对任意的nN*都成立,数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。解:a12a222a32n1an8n(nN*) 当n2时,a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8,求得an24n,在中令n1,可得a18241,an24n(nN*) 由题意知b18,b24,b32,b2b14,b3b22,数列bn1bn的公差为2(4)2,bn1bn4(n1)22n6,法一(迭代法)bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二(累加法)即bnbn12n8,bn1bn22n10,b3b22,b2b14,b18,相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小结与拓展:1)在数列an中,前n项和Sn与通项an的关系为:.是重要考点;2)韦达定理应引起重视;3)迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。题型3 中项公式与最值(数列具有函数的性质)例3 (2009汕头一模)在等比数列an中,an0 (nN),公比q(0,1),且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825,a3与as的等比中项为2。(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog2 an,数列bn的前n项和为Sn当最大时,求n的值。解:(1)因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a825,所以, + 2a3a5 +25 又ano,a3a55 又a3与a5的等比中项为2,所以,a3a54而q(0,1),所以,a3a5,所以,a34,a51,a116,所以, (2)bnlog2 an5n,所以,bn1bn1,所以,bn是以4为首项,1为公差的等差数列。所以, 所以,当n8时,0,当n9时,0,n9时,0,当n8或9时,最大。变式训练3 (2009常德期末)已知数列的前n项和为且,数列满足且()求的通项公式;()求证:数列为等比数列;()求前n项和的最小值解:(1)由得, (2),; 由上面两式得,又数列是以-30为首项,为公比的等比数列. (3)由(2)得,= ,是递增数列 当n=1时, 0;当n=2时, 0;当n=3时, 0,所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且 小结与拓展:1)利用配方法、单调性法求数列的最值;2)等差中项与等比中项。四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)1重要思想:基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。2重要方法:配方法、迭代法、累加法及累乘法。3重要考点:1)数列an中,前n项和Sn与通项an的关系为:. 2)韦达定理:一元二次方程的两个根为、,则;反过来,若,则、是方程的两根。 4.等差数列与等比数列的联系1)若数列是等差数列,则数列是等比数列,公比为,其中是常数,是的公差。(a0且a1);2)若数列是等比数列,且,则数列是等差数列,公差为,其中是常数且,是的公比。3)若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。五、检测巩固:1(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为,则这个数列有13 项;(2)已知数列是等比数列,且,,则 9 (3)等差数列前项和是,前项和是,则它的前项和是 210 2若数列成等差数列,且,求解:(法一)基本量法(略); (法二)设,则得:, ,3等差数列中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为,偶数项之和为,求其项数和中间项.解:设数列的项数为项,则,数列的项数为,中间项为第项,且说明:(1)在项数为项的等差数列中,;(2)在项数为项的等差数列中4数列是首项为,公比为的等比数列,数列满足 ,(1)求数列的前项和的最大值;(2)求数列的前项和解:(1)由题意:,数列是首项为3,公差为的等差数列,由,得,数列的前项和的最大值为(2)由(1)当时,当时,当时,当时,5*若和分别表示数列和的前项和,对任意自然数,有,(1)求数列的通项公式;(2)设集合,若等差数列任一项是中的最大数,且,求的通项公式解:(1)当时:,两式相减得:,又也适合上式,数列的通项公式为(2)对任意,是中的最大数,设等差数列的公差为,则,即,又是一个以为公差的等差数列,六、学习反思:- 8 -用心 爱心 专心
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号