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第二章 推理与证明21 合情推理与演绎推理211 合情推理典型例题例1 观察下列数的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, 中,第100项是( )(A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为1,2,3,4, n 由100 n 得,n=14,所以应选(C)例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,则这两个二面角相等或互补例3、观察以下各等式:,分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。解析 猜想:。 证明练习一、选择题1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中x,y,z的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.2、在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则可得” ( )(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)(C)(D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD23、已知 ,猜想的表达式为 ( )A. B. C. D.二、填空题4、依次有下列等式:,按此规律下去,第8个等式为 。5、在等差数列中,若,则有等式成立,类比上述性质,相应地:在等比数列中,若,则有等式 成立.三、解答题6在DEF中有余弦定理:. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.www.ks5u.com高考资源网7、已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(1)若,求;(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?参 考 答 案21 合情推理与演绎推理211 合情推理一、选择题(1)(A) 观察各项我们可以发现:x为前一项的3倍即143,y为前一项减1,z为前一项的3倍,故应选42,41,123,选(A)。(2)分析 关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比: 多面体 多边形; 面 边体 积 面 积 ; 二面角 平面角面 积 线段长; 由此,可类比猜测本题的答案:,故选(C)。(3)由归纳猜想可得选(B)。www.ks5u.com高考资源网二、填空题(4)由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=(5)猜测本题的答案为:事实上,对等差数列,如果,则. 所以有:)().从而对等比数列,如果,则有等式:成立三、解答题6分析 根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角.证明: 作斜三棱柱的直截面DEF,则为面与面所成角,在中有余弦定理:,同乘以,得即 7解:(1)(2),当时,.(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. 12分研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.研究的结论可以是:由,依次类推可得 当时,的取值范围为等.www.ks5u.com高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com
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