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12.6双曲线的性质 一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究,通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系,以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计 本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质,介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质,讨论共渐近线的双曲线系方程,使学生加深对双曲线性质的理解,能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点 重点:双曲线的性质. 难点:双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计渐近线的研究问题拓展:共渐近线的双曲线系方程等轴双曲线共轭双曲线小结概念辨析范围,顶点,对称性复习引入类比椭圆性质五、教学过程设计一、 复习引入 1观察 复习双曲线的定义、双曲线的标准方程(焦点位置)、标准方程中的意义(与椭圆对比) 2思考(类比椭圆)椭圆有哪些几何性质? 说明 讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质,方法是相同的,这部分的内容可以采用类比的教学方法,让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质,得到一些结论并加以研究. 3讨论研究双曲线几何性质,双曲线图形发展趋势怎样?二、学习新课 1概念辨析以双曲线标准方程,为例进行说明. 1范围: 观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证?由标准方程可得,当时,y才有实数值;对于y的任何值,x都有实数值这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性:双曲线不封闭,但仍具三个对称性,称其对称中心为双曲线的中心 3顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形),所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长,它的长是2a,a叫半实轴长 而在方程中令x=0得,这个方程没有实数根,说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点,在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴,它的长是2b,b叫做虚半轴长归纳:顶点: 特殊点:实轴:长为2a,a叫做半实轴长. 虚轴:长为2b,b叫做虚半轴长.注意:名称,不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点,与椭圆的又一差异4 渐近线:经过作轴、轴的平行线,围成一个矩形,其对角线所在的直线方程为.(1) 定义:如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时,点到该直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线;(2) 直线与双曲线在无穷远处是否相交?解:不失一般性,只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系;设是上的点,是直线上与有相同横坐标的点,则,,在的下方.,是关于的减函数,无限增大时,无限趋近于,而到直线的距离,无限增大时,也无限趋近于,但永不相交.其他象限类似证明;(3) 求法:在方程中,令右边为零,则,得渐近线方程即;若方程为,则渐近线方程为.2问题拓展(一)等轴双曲线1、定义:若a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程:或.3、等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为: ;(2)渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3)等轴双曲线方程可以设为:,当时交点在轴,当时焦点在轴上. 例:等轴双曲线的两个焦点在直线上,线段的中点是原点,分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.(二)共轭双曲线1、定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程:(1)的共轭双曲线为;的共轭双曲线为;(2)互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质:有一对共同的渐近线;有相同的焦距,四焦点共圆;4、注意:(1)共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线,如和;(2)与(ab)不共渐近线,有相同的焦距,四焦点共圆;例如:分清、与、之间的关系.(三)共渐近线的双曲线系方程问题 (1)与;(2) 与的区别?(1) 不同(互换)相同,焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同,焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是,但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.问题: 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征? 如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:或写成.当时交点在x轴,当时焦点在y轴上.即:双曲线()与双曲线有共同的渐近线.证明:若,则双曲线方程可化为,渐近线,双曲线的渐近线方程为,两双曲线渐近线相同;若,则双曲线方程可化为,渐近线,即,又双曲线的渐近线方程为,两双曲线渐近线相同,所以,原命题结论成立.说明与双曲线()有共同渐近线的所有双曲线方程为() 3例题分析1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件,分别求双曲线标准方程.(1) 且实轴长为;(2)过点;(3)一个焦点坐标为.解:(1)设双曲线方程为,当时焦点在x轴上,双曲线方程;当时焦点在y轴上,双曲线方程;(2)设双曲线方程为将代入得,双曲线方程(3)设双曲线方程为,因为焦点坐标为,所以,双曲线方程为.2、(1)求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角; (2)焦距为,两条渐近线包含双曲线的部分所成角为,求双曲线标准方程.解:(1)渐近线方程为,;(2) 当焦点在轴上时,方程为; 当焦点在轴上时,方程为.三、巩固练习1、中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 .2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.3、求与双曲线有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点,且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线;双曲线的渐近线是,但反过来此渐近线对应的双曲线则是或写成.五、作业布置1、习题册P363,4,5,6,72、补充作业(1)求方程mx2ny2mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标. 翰林汇3(2)双曲线的渐进线方程为,且焦距为10,求双曲线方程.(3)求以为渐近线,一个焦点是F(0,2)的双曲线方程.七、教学设计说明 1研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的,所以采用类比的教学方法,让学生在已有经验的基础上,研究双曲线并得出结论,比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣,提高学生分析问题的能力.2渐近线是双曲线所特有的,证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零,是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程,或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容,所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程,加深学生对渐近线的认识.3等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线,通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质,开拓视野.用心 爱心 专心
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