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空间向量及运算 复习教案【考试要求】1 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘2 了解空间向量的基本定理。3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质。【基础知识】一、基本概念 向量:在空间具有大小和方向的量。相等向量:大小相等,方向相同的向量。平行向量或共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。二、空间向量加、减法及数乘运算1 2、运算律: 三、基本定理1、共线向量基本定理:对空间任意两个向量,的充要条件是存在唯一实数,使。2、共线向量基本定理如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x,y),使推论1 空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对()使,或对空间任一定点,有 在平面内,点对应的实数对()是唯一的,式叫做平面的向量表示式 。推论2 对空间任一点和不共线的三点,满足向量关系式 (其中=1)的四点共面(当且仅当=1时)。 两推论的作用:证明四点共面 3.空间向量的基本定理 如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使。 如果三个向量不公面,那么所有空间所组成的集合就是,这个集合可看作是由向量生成的,所以我们把叫做空间的一个基低,都叫做基向量,()叫做对基底下的坐标。 推论 设是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数使。四、两向量的数量积1、空间两向量的夹角 如图,已知两个非零向量,在空间任取一点O,作,则角叫做的夹角,记作。,并且2、=则称互相垂直,并记作。3已知空间两个向量,则叫做向量的数量积,记作。即=。4、性质: 5、运算律 【基础训练】1.有4个命题:若p=xa+yb,则p与a、b共面;若p与a、b共面,则p=xa+yb;若=x+y,则P、M、A、B共面;若P、M、A、B共面,则=x+y.其中真命题的个数是 .2.下列是真命题的命题序号是 .分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反若向量,满足|,且与同向,则若两个非零向量与满足+=0,则3.在四面体O-ABC中,=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示).4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|=,则a与b的夹角为 .5.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=(+),则 = 【典型列题】一、空间向量的基本运算例1 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1);(2);(3)+.二、应用空间向量证明线面关系、求空间角和距离例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,(1)求证:E、F、G、H四点共面;(2)求证:BD平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有=(+).例3 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证:MNAB,MNCD;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.三、空间向量的综合运用例4 如图,已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形,且当的值为多少时,能使?请给出证明。例5 在平行六在面体ABCD-中已知数AB=5,AD=4,=3 , ,(1)试用向量法证明:顶点在底面ABCD上的射影在BAD的平分线上;(2)若M、N分别在上且=2,求所成的角。【小 结】1、 空间向量在立几中应用,既可以证明垂直和平行,又可以计算角和距离,其主要依据是向量运算的几何意义。2、 用向量方法解决立体几何问题时,关键是一个几何问题向量化的转化过程,从建立基向量,到表示相关向量,到应用向量的有关运算,构成一个非常严密的推理过程。巩固练习1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则的值为 .2、A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则BCD是 三角形(用“锐角”、“直角”、“钝角”填空).3、已知六面体ABCDABCD是平行六面体.(1)化简+,并在图上标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCCB对角线BC上的分点,设 =+,试求,的值.4、.已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
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