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3.4.1 基本不等式的证明(1)班级 姓名【课前预习】一、新知感受预习课本P96-98相关内容,填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号。1.对于正数,我们把 称为的算术平均数,把 称为的几何平均数。其中两个正数的几何平均数 与它们的算术平均数 的关系为 ,也就是说, , 。2.如果是正数,那么 (当且仅当 时取“=”)。我们把不等式 ( )称为基本不等式。即两非负数的算术平均数 它们的几何平均数,当两数 时两者相等。3.不等式证明的三种常用方法:比较法,综合法,分析法。(1)比较法:利用不等式两边差的正负来证明不等式的方法。(2)综合法:从已知条件出发,利用某些已证不等式或不等式的性质来证明不等式的方法。(3)分析法:从结论出发,不断寻找使结论成立的条件,一直找到已知条件来证明不等式的方法。说明:1.“当且仅当时取=”可从两方面理解:一方面是当时取等号,即;另一方面是仅当时取等号,即。综合起来就是。特别提醒:在运用基本不等式时一定要注意等号成立的条件。2.基本不等式中的可以是简单的字母或数字,也可以是复杂的代数式。基本不等式的常用变形形式:(1)若则;(2)若则。3.(1)比较法证题步骤:作差,变形,判断;(2)综合法证题模式:(已知)(结论);(3)分析法证题模式:(结论)(已知)。【概念运用】1计算下列两个数的算术平均数与几何平均数(其中)。()2,8;()3,12;(),;()2与2。2证明:(1);(2);(3)。【典型例题】例1 已知,用三种方法证明,并给出其几何解释。例2 设,为正数,证明下列不等式成立:(1);(2);(3)。例3 求证: (1) ; (2) 。基本不等式的证明(1)课堂作业【课堂作业】1. 已知,求证:(1);(2)。2(1)设是实数,求证:;(2)设,求证:;(3)设,求证:。3证明:(1);(2)。【练习反馈】1. 4与9的算术平均数是_ _,几何平均数是_ _。2.若ba0 , 则下列不等式一定成立的是 (1)ab ;(2)ba;(3)ba;(4) ba。3.若ab1 , P=, Q =(lga+lgb), R=lg, 则P,Q,R的大小关系为_ _ _。4.证明:(1);(2)。5(1)已知,且,求证:;(2)已知,求证:。6. 已知,试判断,之间的大小关系,并用基本不等式证明。你能给出其几何解释吗?
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