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抛物线的方程及其性质(2)【教学目标】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程,培养学生分析问题、解决问题的能力 【教学重点】能从函数的角度来理解抛物线,并能解决一些综合问题【教学难点】抛物线的性质及简单应用【教学过程】一、知识梳理:1点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p0)的关系:(1)P在抛物线内(含焦点)2px02焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称作焦半径,记作r=PF(1)y2=2px(p0),r= ; (2)y2=-2px(p0),r= ;(3)x2=2py(p0),r= ; (4)x2=-2py(p0),r= 3焦点弦:AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点M(x0,y0) (1)x1x2=; (2) y1y2=-p2;(3)弦长l=x1+x2+p,x1+x22=p,即当x1=x2时,通径最短为2p二、基础自测:1抛物线的焦点到准线的距离是 2以双曲线的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是 3抛物线C与双曲线x2y21有相同焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是 4设抛物线y28x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么PF 三、典型例题:例1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A(x1,y1)、B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2p2,x1x2; (2)为定值;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【变式拓展】设抛物线y22px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点, 反思:点C在抛物线的准线上,且BCx轴证明:直线AC经过原点O 例2在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0)(1)求抛物线C的标准方程;(2)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点 例3已知抛物线C:ymx2(m0),焦点为F,直线2xy20交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标;(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由 四、课堂反馈:1抛物线y24mx(m0)的焦点到双曲线1的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为_2在平面直角坐标系xOy中,抛物线方程为x2=2py(p0),若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则实数p的值是 .3抛物线C:y24x焦点为F,点P在抛物线上,且PF3,则点P到直线x1的距离为_4已知抛物线y24x的焦点为F,准线为l.过点F作倾斜角为60的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过点A作l的垂线,垂足为A1,则AA1F的面积是_五、课后作业: 学生姓名:_1抛物线yax2的准线方程是y20,则a的值是 2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 3抛物线的焦点到准线的距离是 4抛物线x22py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p 5一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必过定点_6已知抛物线y22px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 7已知抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点距离之和为5,则以线段AB为直径的圆与准线位置关系为 8已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于 9如图,抛物线E:y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求MN; (2)若AF2AMAN,求圆C的半径10如右图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.(1)求线段中点的轨迹的方程;(2)是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,设为到轴的距离之积.问:是否存在最大常数,使恒成立?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由. 3
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