江西省南昌市第二中学2020届高三数学第四次月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合，0，1，则A. B. C. D. 0，1，2.A. B. C. D. 3. 如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. B. 33 45 35C. D. 4. 若，则A. B. C. D. 5. 已知平面向量的夹角为，且，则A. B. 2C. D. 6. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的y值的取值范围是A. 或B. C. 或D. 或8. 观察下列各式：，则A. 322B. 521C. 123D. 1999. 已知，若存在三个不同实数a，b，c使得，则abc的取值范围是A. B. C. D. 10. 设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C. D. 11. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，面ABCD，则球O的体积为A. B. C. D. 12. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_14. 已知，为第二象限的角，则的值为_15. 设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，若函数且在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为_16. 已知实数x，y满足，则的最大值是_三、解答题（本大题共7小题）17. 2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，后得到如图所示的频率分布直方图试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上含18岁为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数18. 已知数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且底面ABCD证明：平面PBD；若Q为PC的中点，求三棱锥的体积20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1求椭圆的标准方程；若P为椭圆上的一点点P不在y轴上，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值21. 已知函数设，曲线在点处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；若只有一个零点，求实数a的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求的直角坐标方程；若与有且仅有三个公共点，求的方程23. 已知函数求不等式的解集；设函数的最小值为m，当a，b，且时，求的最大值答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，0，1，则故选：A直接利用集合的交集的运算法则求解即可本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：故选：D3.【答案】B【解析】解：从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是：35，故选：B根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可本题考查了茎叶图的应用以及中位数、众数以及极差的求法问题，求中位数时，要把数据从小到大排好，再确定中位数，也要注意数据的个数4.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题根据能求出结果【解答】解：，故选B5.【答案】A【解析】解：由，得：，即：，解得：故选：A将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果本题考查了利用平面向量的数量积求模长的计算问题，是基础题6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力利用等比数列的通项公式，转化求解即可【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：故选：D7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值如图：若：，则满足条件输出，若：，则不满足条件，此时，则：输出的y值的取值范围是或故选：C8.【答案】A【解析】解：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果因为，等式右边对应的数为1，3，4，7，11，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求，即是求数列“1，3，4，7，11，”中的第12项，所以对应的数列为“1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322”，即第12项为322故选：A观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础9.【答案】C【解析】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：存在三个不同实数a，b，c，使得，可假设，根据函数图象，可知：，又，即：，即，故选：C本题可先画出分段函数的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出，即可得到abc的取值范围本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质本题属中档题10.【答案】A【解析】解：，故选：A先根据正余弦定理求出，再将，化为，后用数量积可得本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作，与E，F，则，可得，取BC中点M，连接AM，易得，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径，故球O的体积为：，故选：B利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，如图所示：，取，点M到直线l的距离不小于，解得椭圆E的离心率的取值范围是故选A13.【答案】，或【解析】解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即；当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，可设直线方程为，将代入得，此时所求的直线方程为综上，要求的直线的方程为，或，故答案为：，或可分当在坐标轴上截距为0时、与在坐标轴上截距不为0时，分类讨论解决本题主要考查求直线的方程的方法，属于基础题14.【答案】【解析】解：因为，为第二象限的角，所以，又因为，所以，故答案为：由，为第二象限的角，可得，由于，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题15.【答案】【解析】解：对任意的实数x，恒有，函数是周期为2的偶函数，当时，若，则，即，即，而在有且仅有三个零点可化为函数与在上有三个不同的交点，故作函数与在上的图象可得，若，则两个函数只有一个交点，不满足条件则，若函数与在上有三个不同的交点，则，即，即，故；故答案为：由题意可判断出函数是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键16.【答案】15【解析】解：如图，由，可得，则，令，得，如图，要使最大，则直线在y轴上的截距最小，由，得则，即或由题意可得z的最大值为15故答案为：15由题意可得，去绝对值后得到目标函数，然后结合圆心到直线的距离求得的最大值本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题17.【答案】解：平均数，前三组的频率之和为，故中位数落在第3组，设为x，则，解得，即中位数为35样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：，至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数做题时要认真审题，准确把握题意本题属于中档题以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为估计即可；样本中，年龄在的人共有人，其中年龄