数学解题中结论的监控 专题辅导http:/www.DearEDU.com董培仁 考试中，有时学生的解题方向明确，思路顺畅，结论却是错的，信心严重受挫。应试者若能对解出的结论（包括过程结论和终结结论）的正确性及时监控，既可堵漏拾遗，减少失误，又可甩掉包袱，轻装前进，就容易考出好成绩。本文用实例介绍几种常用的监控手段。 一、量纲监控 量纲就是单位，数学中若解出的结论与所研究对象的单位不一致，不是解法有误，就是运算出错。 例1 已知P、Q为椭圆上两点，且有，求的值。 若得出就可毫不犹豫否定之。这是因为从量纲来看+是长度单位的次幂，而却是其0次幂。事实上正确的结论是，错误可能是运算笔误造成的。 二、“非充分理由”监控 “没有充分理由区别的，可能是不必区别的”。例如，在（i=1，2，n）且的情况下，问何时取得最小值？因条件和研究对象的形式都是关于对称的，当取得极小值时，就没有充分理由认为比其它大或小，它们对取最（极）值的贡献是相等的，因而地位平等，谁也无特权。故，即当时，得。这种“一视同仁”地、“公正”地看待某些对象的“非充分理由”原理，用来监控对称问题的结论是很有效的。即条件及研究对象的形式是对称的，结论也应该符合对称要求，否则可判断结论或者不完整，或者就是根本错误的。 例2 已知满足条件，试判断ABC的形状。 若解得结论：ABC是以b为斜边的直角三角形，就显然有误。因条件关于（a，A），（b，B）是对称的，而结论并不满足这种对称关系。此错的性质属于前者（不完整）。事实上正确结论是：ABC是以b为斜边的直角三角形，或者是以a为斜边的直角三角形。 三、特例监控 用适合题意的某个特殊数值或图形来发现一些解答的错误，监控结论。 在例1中，若得的结论是：。用特例监控，即设P、Q分别在纵轴上、横轴上，此时有，可判断结论是错误的。 四、估值监控 通过对问题的实际意义或者心算估值，可以发现一些错误，对结论进行监控。 例3 求的值。 若学生得答案为0，则显然错。因都正，通过估值知结论的值为正，则知该生答案错误。事实上是公式中的最后的减号记错了。 五、直觉监控 莱布尼兹曾讲过，人们依靠直觉，“往往一眼就看出我们靠推理的力量很难找出的东西”。直觉发现的，解题中应该得到，否则是变换不等价或考虑不周。 例4 求过P（5，3）点的直线方程，使它与直线的夹角为。 若设所求直线l的斜率为k，则 解得，所求直线l方程为： 即 直觉告诉我们，所求的直线应有两条，现在只求出一个，结论显然有误。此错是后者（考虑不周），没有考虑直线斜率不存在的情形。正确的结论是：所求直线l方程为或。 注：有的教师为了防止学生这方面的错误，要求首先验证斜率不存在的情况是否适合，实际上也是不可取的。一是学生常忘记，而且有时验证斜率不存在的情况也比较麻烦；二是当解出k的值有两个的话，由直观可知，再考虑斜率不存在已没有必要了。 六、极端监控 极端，对数值来说指极限，对图形则指极限位置（这个极限不在条件允许的范围，否则为特值，如线与圆相切是相交的极端，但不是相交）。由于问题的结论应与允许的极端情况不矛盾，因而用极端监控可发现一些错误。 例5 直平行六面体的底面锐角为，底面的一边长为m，过这边和所对的棱的截面面积是Q，这个截面和底面所成的二面角大小为，则底面另一边长为_。 有的学生得结论为，若用极端监控，即令，则截面就是底面，此时底面为长方形，则它的另一边长为，可判断解答是错误的。事实上，正确结论就是（与无关的定值）。 再如，在例1中，得出，除出量纲监控，也可用极端监控： 此外还有逆向运算、多解对照等监控手段。不过监控手段只是解题的辅助手段，它们对否定相关错误解答是完全有效的（只能发现错误），而对相关解答的肯定一般只能增加可信度（不能确定正确解答）。用心 爱心 专心 115号编辑 3