专题四一次函数 反比例函数与几何图形 一次函数 反比例函数与几何图形的综合考查是中考命题的必考点 能很好地考查学生的数形结合能力 一般以解答题的形式呈现 考点一确定一次函数 反比例函数表达式及几何图形的面积问题 示范题1 2017 重庆中考A卷 如图 在平面直角坐标系中 一次函数y mx n m 0 的图象与反比例函数y k 0 的图象交于第一 三象限内的A B两点 与y轴交于点C 过点B作BM x轴 垂足为M BM OM OB 2 点A的纵坐标为4 1 求该反比例函数和一次函数的解析式 2 连接MC 求四边形MBOC的面积 思路点拨 1 根据题意可以求得点B的坐标 从而可以求得反比例函数的解析式 进而求得点A的坐标 从而可以求得一次函数的解析式 2 根据 1 中的函数解析式可以求得点C的坐标 结合点M 点B 点O的坐标 从而可以求得四边形MBOC的面积 自主解答 1 由题意可得 BM OM OB 2 BM OM 2 点B的坐标为 2 2 因为反比例函数的解析式为y 则 2 得k 4 反比例函数的解析式为y 点A的纵坐标是4 4 得x 1 点A的坐标为 1 4 一次函数y mx n m 0 的图象过点A 1 4 点B 2 2 得即一次函数的解析式为y 2x 2 2 y 2x 2与y轴交于点C 点C的坐标为 0 2 点B 2 2 点M 2 0 点O 0 0 OM 2 OC 2 MB 2 四边形MBOC的面积是 特别提醒 1 确定函数表达式的关键是确定函数图象上特殊点的坐标 然后运用待定系数法求解 2 在坐标系中计算几何图形面积 是规则图形的可以直接利用面积公式来求解 否则要转化为规则图形的和 差 倍 分等关系来计算 变式训练 1 2017 宜宾中考 如图 一次函数y kx b的图象与反比例函数y 的图象交于点A 3 m 8 B n 6 两点 1 求一次函数与反比例函数的解析式 2 求 AOB的面积 解析 1 把A 3 m 8 B n 6 代入反比例函数y 中 得到 解得 A点的坐标为 3 2 B点的坐标为 1 6 把 3 2 和 1 6 代入一次函数y kx b 得解得 一次函数的解析式为y 2x 4 反比例函数的解析式为y 2 设AB与y轴的交点为C 作AD y轴于点D BE y轴于点E A 3 2 B 1 6 AD 3 BE 1 由一次函数的解析式y 2x 4知 点C的坐标为 0 4 所以OC 4 故S AOB S AOC S BOC 即S AOB 2 2017 广安中考 如图 一次函数y kx b的图象与反比例函数y 的图象在第一象限交于点A 4 2 与y轴的负半轴交于点B 且OB 6 1 求函数y 和y kx b的解析式 2 已知直线AB与x轴相交于点C 在第一象限内 求反比例函数y 的图象上一点P 使得S POC 9 解析 1 点A 4 2 在反比例函数y 的图象上 m 4 2 8 反比例函数的解析式为y 点B在y轴的负半轴上 且OB 6 点B的坐标为 0 6 把点A 4 2 和点B 0 6 代入y kx b中 得 解得 一次函数的解析式为y 2x 6 2 设点P的坐标为 n 0 在直线y 2x 6上 当y 0时 x 3 点C的坐标为 3 0 即OC 3 S POC OC yP 3 9 解得n 点P的坐标为 故当S POC 9时 在第一象限内 反比例函数y 的图象上点P的坐标为 考点二一次函数 反比例函数与几何图形的变化问题 示范题2 如图 矩形OABC的顶点A C分别在x y轴的正半轴上 点D为BC边上的点 反比例函数y k 0 在第一象限内的图象经过点D m 2 和AB边上的点 1 求反比例函数的表达式和m的值 2 将矩形OABC进行折叠 使点O与点D重合 折痕分别与x轴 y轴正半轴交于点F G 求折痕FG所在直线的函数关系式 思路点拨 1 由点E的坐标 利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值 再由点D在反比例函数图象上 代入即可求出m值 2 设OG x 利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程 解方程即可求出x值 从而得出点G的坐标 再过点F作FH CB于点H 由此可得出 GCD DHF 根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度 从而得出点F的坐标 结合点G F的坐标利用待定系数法即可求出结论 自主解答 1 反比例函数y k 0 在第一象限内的图象经过点 k 3 2 反比例函数的表达式为y 又 点D m 2 在反比例函数y 的图象上 2m 2 解得 m 1 2 设OG x 则CG OC OG 2 x 点D 1 2 CD 1 在Rt CDG中 DCG 90 CG 2 x CD 1 DG OG x CD2 CG2 DG2 即1 2 x 2 x2 解得 x 点 过点F作FH CB于点H 如图所示 由折叠的特性可知 GDF GOF 90 OG DG OF DF CGD CDG 90 CDG HDF 90 CGD HDF DCG FHD 90 GCD DHF DF 2GD 点F的坐标为设折痕FG所在直线的函数关系式为y ax b 有解得 折痕FG所在直线的函数关系式为 特别提醒 1 确定点的坐标实质是确定和点的坐标有关的线段 计算线段的方法一般是通过勾股定理 相似三角形列比例式来解答 2 图形折叠问题 一般是利用折叠前后的对应边相等 对应角相等来解答 变式训练 2017 泸州中考 一次函数y kx b k 0 的图象经过点A 2 6 且与反比例函数y 的图象交于点B a 4 1 求一次函数的解析式 2 将直线AB向上平移10个单位后得到直线l y1 k1x b1 k1 0 l与反比例函数y2 的图象相交 求使y1 y2成立的x的取值范围 解析 1 由题意得 4a 12 即a 3 B 3 4 解得 所以一次函数的解析式为y 2x 2 2 直线AB向上平移10个单位后得直线l的解析式为 y 2x 8 联立得 2x 8 解得 x1 1 x2 3 可知 y13 考点三一次函数 反比例函数与几何图形中的存在性问题 示范题3 2017 嘉兴中考 如图 一次函数y k1x b k1 0 与反比例函数y k2 0 的图象交于点A 1 2 B m 1 1 求这两个函数的表达式 2 在x轴上是否存在点P n 0 n 0 使 ABP为等腰三角形 若存在 求n的值 若不存在 说明理由 自主解答 1 把A 1 2 代入y 得k2 2 反比例函数的表达式为y B m 1 在反比例函数的图象上 m 2 由题意得解得 一次函数的表达式为y x 1 2 AB 3 当PA PB时 n 1 2 4 n 2 2 1 n 0 不符合题意 舍去 当AP AB时 22 n 1 2 3 2 n 0 n 1 当BP BA时 12 n 2 2 3 2 n 0 n 2 n 1 或n 2 特别提醒 本题考查反比例函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 待定系数法 等腰三角形的判定与性质等知识 第二问是本题难点 解答存在性问题一般采用逆向思维 即假设结论成立 再根据结论的性质推到条件 特殊图形的存在性问题注意分类讨论思想的应用 变式训练 2017 赤峰中考 如图 一次函数y x 1的图象与x轴 y轴分别交于点A B 以线段AB为边在第一象限作等边 ABC 1 若点C在反比例函数y 的图象上 求该反比例函数的解析式 2 点P 2 m 在第一象限 过点P作x轴的垂线 垂足为D 当 PAD与 OAB相似时 P点是否在 1 中反比例函数图象上 如果在 求出P点坐标 如果不在 请加以说明 解析 1 在y x 1中 令y 0 可得x 令x 0 可得y 1 A 0 B 0 1 tan BAO BAO 30 ABC是等边三角形 BAC 60 CAO 90 在Rt BOA中 由勾股定理可得AB 2 AC 2 C 2 点C在反比例函数y 的图象上 k 2 2 反比例函数的解析式为y 2 P 2 m 在第一象限 AD OD OA 2 PD m 当 ADP AOB时 则有 即解得m 1 此时P点坐标为 2 1 当 PDA AOB时 则有 即解得m 3 此时P点坐标为 2 3 把P 2 3 代入y 可得3 P 2 3 不在反比例函数图象上 把P 2 1 代入反比例函数解析式得1 P 2 1 在反比例函数图象上 综上可知 P点坐标为 2 1