浙江省苍南县“姜立夫杯”2014年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1.函数是（） （A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数2若M=(x，y)| |tanpy|+sin2px=0，N=(x，y)|x2+y22，则MN的元素个数是（ ）（A）4 （B）5 （C）8 （D）93 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) （A）1个 （B）2个 （C）50个 （D）100个第4题4有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ）（A）6 （B） 14 （C）16 （D） 185在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表 的曲线是 ( ) （A）三角形 （B）正方形 （C）非正方形的菱形 （D）非正方形的长方形6已知x，y满足则的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）7设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记，则一定满足( ) （A）24 （B）34 （C）2.54.5 （D）3.55.58. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ ）（A） （B） （C）2 （D）42、 填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 10. 若直线被圆所截得的弦长不小于，则的取值范围是 11.已知中，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是 12如图，在三棱锥SABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=， M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，则三棱锥SABC的外接球的体积为 .13. 定义在R上的函数f（x）满足且当时，有，则的值为_ _.14若三个非零且互不相等的实数、满足，则称、是调和的；若满足，则称、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”。则不同的“好集”的个数为 2014年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345678答案二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9._ 10._11._ 12._13._ 14._三、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值16已知函数，为常数（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围17设是数列的前项和，且是和的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）当（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积之和；（3）设，求证：2014年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345678答案CDDBCBAA二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9._4_ 10._ _11._ 12._13._ 14._1006_四、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15. 解：（I）由条件知， 由知，于是所以时，有最小值；当时，有最大值 （4分）（II）由条件可知对任意的恒成立， , 由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得，所以， （10分）16. 解：（1）当时， 所以当时，当时， 所以在上的最大值为，最小值为1。 (5分)（2）因为 而在上单调递增 所以当时，必单调递增，得即 当时，亦必单调递增，得即 且恒成立 故所求实数的取值范围为。 (10分)17. 15.（1）是和的等差中项， 当时，解得.当时，. 得 ，。.数列是首项为，公比为的等比数列，. 当时，符合上式， 所以数列的通项公式为。3分（2）由和的所有可能乘积可构成下表： ， ， ， 构造如下行列的数表：， ， 设上表第一行的和为，则.于是 .8分（3），。.，.即。12分- 9 -