第2课时 指数函数及其性质(2)导入新课思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例思路1例1已知指数函数f(x)=ax（a0且a1）的图象过点（3,）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a0且a1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,）,所以f(3)=a3=,即a=,f(x)=()x.再把0,1,3分别代入,得f(0)=0=1,f(1)=1=,f(-3)=-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2R,且x1x2,则y2y1=ax2ax1=ax1（ax2-x11）.因为a1,x2x10，所以ax2-x11,即ax2-x110.又因为ax10,所以y2y10,即y11,y10且y1.（2）由5x-10得x,所以所求函数定义域为x|x.由0得y1,所以函数值域为y|y1.（3）所求函数定义域为R，由2x0可得2x+11.所以函数值域为y|y1.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y1,所以2x=.又xR,所以2x0,0.解之,得-2y1.因此函数的值域为y|-2y0,所以值域为(0,1)(1,+).例2（1）求函数y=()的单调区间,并证明.（2）设a是实数,f(x)=a(xR),试证明对于任意a,f(x)为增函数.活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.解法一：设x1x2,则=()(),因为x10.当x1,x2（-,1时,x1+x2-20,这时(x2-x1)(x2+x1-2)1,所以y2y1,函数单调递增;当x1,x21,+）时,x1+x2-20,这时(x2-x1)(x2+x1-2)0,即1,所以y2y1,函数单调递减;所以函数y在（-,1上单调递增,在1,+）上单调递减.解法二：（用复合函数的单调性）：设u=x2-2x,则y=()u,对任意的1x1x2,有u1u2,又因为y=()u是减函数,所以y1y2,所以y=()在1,+）是减函数.对任意的x1u2,又因为y=()u是减函数,所以y1y2.所以y=()在（-,1上是增函数.引申：求函数y=()的值域（0y2）.点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.证明：设x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=.由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1x2,所以2x12x2,即2x1-2x20得2x1+10,2x2+10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0;0,所以正确.因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得正确.图2-1-2-9答案：另解：10x10,10x20,x1x2,即.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)y=3x,y=3x+1,y=3x-1;(2)y=()x,y=()x-1,y=()x+1.活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结思考我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业课本P59习题2.1 B组 1、3、4.设计感想本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a1,0a1,这是分类讨论的思想,因此加大了习题和练习的量,目的是让学生在较短的时间内,掌握学习的方法,提高分析问题和解决问题的能力,要加快速度,多运用现代化的教学手段.6