资源预览内容
第1页 / 共6页
第2页 / 共6页
第3页 / 共6页
亲,该文档总共6页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
图象变换顺序问题中的疑与答一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移 m 变换 2.纵向伸缩 A 变换3.横向平移 变换 4.横向伸缩 变换一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样.以下以y = sinx到y = Asin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题.对于函数的图象与函数的图象间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数图象变换的难点所在.由的图象到的图象变换主要有两种途径:第一种是先“平移变换”后“伸缩变换”,即先相位变换再周期变换; 第二种是先“伸缩变换”后“平移变换”,即先周期变换再相位变换;由于“平移变换”,“伸缩变换”的顺序不同,变化就有所不同,下面通过例子说明.【例1】如何由函数的图象经过变换得到函数的图象?方法1:先“平移”后“伸缩” 方法2:先“伸缩”后“平移” 【点评】 例1的两种方法中,我们发现变化的顺序变了,图象平移的量也就不同,方法1是先向左平移,而方法2中则是最后向左平移,而不少同学会在方法二的最后一步认为是向左平移,这正是平时我们容易做错的地方,为什么会导致这样的错误呢?方法2中由函数向函数变化过程中,是先缩短了横坐标之后,再平移横坐标的,所以相应的平移单位也发生了变化,即.也就是说,相位变换与周期变换是对同一字母而言的,图象变化要看“变量”起多大变化,而不是看角变化了多少,即相位变化是自变量与一个常数的和的关系,周期变化是自变量与一个常数积的关系,如函数向左平移个单位得函数而不是函数;又如函数横坐标伸长到原来的3倍,得,而不是函数的图象. 【例2】 把函数的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍,所得图象的函数式是.解析 把函数的图象上各点向右平移个单位,所得图象函数式是;再把横坐标缩小到原来一半所得图象函数式是;纵坐标再扩大到原来的4倍,所得图象函数式是.因此所求图象的函数式是.答案:.【例3】 (06江苏卷)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(B)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析 先将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数的图像,选择C.点评 由函数的图象经过变换得到函数(1)y=Asinx,xR(A0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0且1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍(纵坐标不变)(3)函数ysin(x),xR(其中0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把x前面的系数提取出来.【例4】 函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到?【解法1】 第1步,横向平移:将y = sin x 向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】 第1步,横向伸缩:将y = sin x 的横坐标缩短倍,得 y = sin 2x 第2步,横向平移:将y = sin 2x 向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】 解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大.【质疑】 对以上变换,提出如下疑问:(1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变?(2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反如当0时对应右移(增方向),而m 1时对应着“缩”,而| A | 1时,对应着“扩”?【答疑】 对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x中,平移是对x进行的.故先平移(x)对后伸缩()没有影响; 但先收缩(x)对后平移()却存在着“平移”相关. 这就是为什么(在例1的解法2中)后平移时,有的原因.【说明】 为了使得4种变换量与4个参数(A,m)对应,降低“解题风险”,在由sinx变到Asin () ( 0) 的途中,采用如下顺序:(1)横向平移:x(2)横向伸缩:x+(3)纵向伸缩:sin () Asin ()(4)纵向平移:Asin () Asin () + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如何处理如果把由sin x 到Asin ()+m的变换称作正向变换,那么反过来,由Asin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然,逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是:(1)横向平移,(2)横向伸缩,(3)纵向伸缩,(4)纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是:(1)纵向平移,(2)纵向伸缩,(3)横向伸缩,(4)横向平移.如将函数y= 2sin (2x) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x),再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x),最后将图象左移得函数y= sinx.【例5】如何由函数的图象得到函数的图象? 分析 从例1已经知道由的图象变化到的图象的过程,则例2不如“正话反说”,说明图象的变换 解 先由的图象变化到的图象,如例1解答,再“正话反说”. 方法1:方法2:【例6】 将y = f (x)cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x . 试求f (x)的表达式.【分析】 这是图象变换的逆变换问题:已知函数的变换结果,求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】 将y = 2sin2 x 下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反),得 y = 2sin2 x1,再将 2sin2x1左移(与正向变换右移相反)得 令 f (x)cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为sin 2x2sin2x,其逆变换为2sin2xsin2x. 因为2sin2x=1+sin(2 x),所以下移1个单位得sin(2 x),左移得sin2x.6
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号