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不等式的基本性质一、引入:不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖(ab0),若再加m(m0)克糖,则糖水更甜了,为什么?分析:起初的糖水浓度为,加入m克糖 后的糖水浓度为,只要证即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质:1.实数的运算性质与大小顺序的关系:数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。2.不等式的基本性质:如果ab,那么ba,如果bb。(对称性)如果ab,且bc,那么ac,即ab,bcac。如果ab,那么a+cb+c,即aba+cb+c。推论:如果ab,且cd,那么a+cb+d即ab, cd a+cb+d如果ab,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acb 0,那么 (nN,且n1)如果ab 0,那么 (nN,且n1)。三、典型例题:例1 已知ab,cb-d例2 已知ab0,c0,求证:。2
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