1.4 导数与最优化问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考1用料最省问题例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d，高为h，表面积为S，由，得又，而令，即，得，此时时，；时，所以，当，时，用料最省点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解2流量最大问题例2 用宽为a、长为b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）问斜角?兹多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值设横截面面积为，则由于，因此又，令，即，得或由于，得，那么，此时当时，；当时，所以，当时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键3物理中的问题例3 已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R多大时，输出功率最大？解析：由电学知识知道，消耗在负载电阻R上的功率为，I是电路中的电流，而于是又，令，得时，；时，所以，当时输出功率最大所以，当时，输出功率P最大点评：这是我们学过的电学知识，借助于导数可以轻松的求出输出功率的最大值它告诉我们导数的应用是不分学科的通过上述三例可以看出：在利用导数求解生活中的常见问题时，基本步骤都是：读题（认真分析各量之间的关系）；建立数学模型（产生函数关系）；求解（求导、分析导数零点两边的函数值的正、负）；产生结果（得到函数的最值）；回归实际问题2