控制系统的数学描述与建模 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位 要对系统进行仿真处理 首先应当知道系统的数学模型 然后才可以对系统进行模拟 同样 如果知道了系统的模型 才可以在此基础上设计一个合适的控制器 使得系统响应达到预期的效果 从而符合工程实际的需要 在线性系统理论中 一般常用的数学模型形式 传递函数模型 系统的外部模型 状态方程模型 系统的内部模型 零极点增益模型部分分式模型这些模型之间都有着内在的联系 可以相互进行转换 第一节系统的分类 按系统性能分 线性系统和非线性系统连续系统和离散系统定常系统和时变系统确定系统和不确定系统 线性连续系统 用线性微分方程式来描述 如果微分方程的系数为常数 则为定常系统 如果系数随时间而变化 则为时变系统 今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主 线性定常离散系统 离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式 这类系统用差分方程来描述 非线性系统 系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统 第二节线性定常连续系统的微分方程模型 微分方程是控制系统模型的基础 一般来讲 利用机械学 电学 力学等物理规律 便可以得到控制系统的动态方程 这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程 如果已知输入量及变量的初始条件 对微分方程进行求解 就可以得到系统输出量的表达式 并由此对系统进行性能分析 通过拉氏变换和反变换 可以得到线性定常系统的解析解 这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程 解析解是精确的 然而通常寻找解析解是困难的 MATLAB提供了ode23 ode45等微分方程的数值解法函数 不仅适用于线性定常系统 也适用于非线性及时变系统 例exp3 1 m 电路图如下 R 1 4欧 L 2亨 C 0 32法 初始状态 电感电流为零 电容电压为0 5V t 0时刻接入1V的电压 求0 t 15s时 i t vo t 的值 并且画出电流与电容电压的关系曲线 第三节传递函数描述 一 连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下 对线性定常系统 式中s的系数均为常数 且a1不等于零 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来 这两个向量分别用num和den表示 num b1 b2 bm bm 1 den a1 a2 an an 1 注意 它们都是按s的降幂进行排列的 二 零极点增益模型 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式 其原理是分别对原系统传递函数的分子 分母进行分解因式处理 以获得系统的零点和极点的表示形式 K为系统增益 zi为零点 pj为极点在MATLAB中零极点增益模型用 z p K 矢量组表示 即 z z1 z2 zm p p1 p2 pn K k 函数tf2zp 可以用来求传递函数的零极点和增益 三 部分分式展开 控制系统常用到并联系统 这时就要对系统函数进行分解 使其表现为一些基本控制单元的和的形式 函数 r p k residue b a 对两个多项式的比进行部分展开 以及把传函分解为微分单元的形式 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数 部分分式展开后 余数返回到向量r 极点返回到列向量p 常数项返回到k b a residue r p k 可以将部分分式转化为多项式比p s q s 举例 传递函数描述1 num 12 24 0 20 den 24622 2 借助多项式乘法函数conv来处理 num 4 conv 1 2 conv 1 6 6 1 6 6 den conv 1 0 conv 1 1 conv 1 1 conv 1 1 1 3 2 5 零极点增益模型 num 1 11 30 0 den 1 9 45 87 50 z p k tf2zp num den z 0 6 5 p 3 0000 4 0000i 3 0000 4 0000i 2 0000 1 0000 k 1 结果表达式 部分分式展开 num 2 0 9 1 den 1 1 4 4 r p k residue num den p 0 0000 2 0000i0 0000 2 0000i 1 0000 k 2 r 0 0000 0 2500i0 0000 0 2500i 2 0000 结果表达式 第四节状态空间描述 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式 又称为动态方程 经典控制理论用传递函数将输入 输出关系表达出来 而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入 输出关系 揭示了系统内部状态对系统性能的影响 在MATLAB中 系统状态空间用 A B C D 矩阵组表示 举例 系统为一个两输入两输出系统 A 16910 31268 47911 5121314 B 46 24 22 10 C 0021 8022 D zeros 2 2 第五节模型的转换与连接 一 模型的转换在一些场合下需要用到某种模型 而在另外一些场合下可能需要另外的模型 这就需要进行模型的转换 模型转换的函数包括 一 模型的转换 residue 传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf 零极点增益模型转换为传递函数模型 用法举例 1 已知系统状态空间模型为 A 01 1 2 B 0 1 C 1 3 D 1 num den ss2tf A B C D iu iu用来指定第n个输入 当只有一个输入时可忽略 num 152 den 121 z p k ss2zp A B C D iu z 4 5616p 1k 1 0 4384 1 2 已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为 num 00 2 0 1 5 120 den 16116 A B C D tf2ss num den A 6 11 6B 1C 00 2D 010000 1 5001001200 3 系统的零极点增益模型 z 3 p 1 2 5 k 6 num den zp2tf z p k num 00618den 181710 a b c d zp2ss z p k a 1 000000b 12 0000 7 0000 3 1623103 162300c 001 8974d 0注意 零极点的输入可以写出行向量 也可以写出列向量 4 已知部分分式 r 0 25i 0 25i 2 p 2i 2i 1 k 2 num den residue r p k num 2091 den 1144注意余式一定要与极点相对应 二 模型的连接 1 并联 parallel格式 a b c d parallel a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a b c d parallel a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 inp1 inp2 out1 out2 num den parallel num1 den1 num2 den2 2 串联 series 格式 a b c d series a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a b c d series a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 out1 in2 num den series num1 den1 num2 den2 3 反馈 feedback 格式 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 将两个系统按反馈方式连接 一般而言 系统1为对象 系统2为反馈控制器 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 sign 系统1的所有输出连接到系统2的输入 系统2的所有输出连接到系统1的输入 sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号 sign缺省时 默认为负 即sign 1 总系统的输入 输出数等同于系统1 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 inp1 out1 部分反馈连接 将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入 系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1 以此构成闭环系统 num den feedback num1 den1 num2 den2 sign 可以得到类似的连接 只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示 sign的含义与前述相同 4 闭环 cloop 单位反馈 格式 ac bc cc dc cloop a b c d sign 通过将所有的输出反馈到输入 从而产生闭环系统的状态空间模型 当sign 1时采用正反馈 当sign 1时采用负反馈 sign缺省时 默认为负反馈 ac bc cc dc cloop a b c d outputs inputs 表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs 以此构成闭环系统的状态空间模型 一般为正反馈 形成负反馈时应在inputs中采用负值 numc denc cloop num den sign 表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统 sign意义与上述相同 举例应用 1 exp3 2 m系统1为 系统2为 求按串联 并联 正反馈 负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程 2 exp3 3 m系统1 系统2方程如下所示 求部分并联后的状态空间 要求u11与u22连接 u13与u23连接 y11与y21连接 本章小结 在进行控制系统的仿真之前 建立系统的模型表达式是关键的一步 对于控制系统 有不同的分类 在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统系统的描述有不同的方法 微分方程 传递函数 零极点增益模式 部分分式展开 状态空间模型等 系统的模型之间可以相互转换 要求熟练掌握各种模型之间转换的命令 模型之间可以进行连接 要求掌握常用的模型连接命令 串联 并联 反馈及闭环