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函数模型与应用知识破解一、几类不同增长的函数模型 1一次函数模型:; 2二次函数模型:; 3指数函数模型:; 4对数函数模型:; 5幂函数模型:。二、用已知函数模型解决问题已给出函数模型的实际应用题,关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答。解决此类型函数应用题的基本步骤是:第一步:阅读理解,审清题意读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。第二步:根据所给模型,列出函数关系式根据问题已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题。第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果。第四步:将所得结论转译成具体问题的解答。三、运用函数知识解决实际问题 近几年来,函数应用题已成为高考的热点题型,其基本步骤为: 1审题审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用普通文语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题中采用定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件。 2建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言统统转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系建立函数模型。这时,要注意函数的定义域应符合实际问题的要求,这样便将实际问题转化成了纯数学问题。 3解模 运用函数的有关性质进行推理、运算,使问题得到解决。 4还原评价 应用题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景。因此,对于解出结果要代入原问题中进行检验、评判。注:解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型,或转化不全面; (2)在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件。例1 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调空手段来达到节约用水的目的。某用水的收费方法是:水费=基本费+超额费+损耗费。若每月用水量不超过最低限量只付基本费8元和每户每月定额损耗费元;若用水量超过时,除了付以上的基本费和损耗费外,超过部分每立方米付元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:月份用水量水费(元)1992151932233根据上表中的数据,求。解析:设每月用水量为,支付费用为元,则由题意知,。由表知第二、三月份该户水费超过13元,故用水量为均大于最低限量,则,解得。不妨设一月份用水量也超过最低限量,即,这时将代入中得,与矛盾,。,。评注:对于文字叙述冗长,反映数学关系的事物陌生的应用题,认真、耐心地阅读和理解题意至关重要。例2 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖出100个。若此商品销售单价每个再涨1元,日销售量就减少10个,为了获取最大利润,此商品的销售单价应定为多少元?解析:设商品的销售单价每个再涨元,则实际销售单价为元,此时日销售量为个,每个商品的利润为(元)。故总利润为,易见当时,有最大值,此时销售单价为14元。评注:在函数应用题中,贴近生活,贴近实际,具有时代感,这不仅是一种数学理念,也是今后高考命题的方向之一。3
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