资源预览内容
第1页 / 共11页
第2页 / 共11页
第3页 / 共11页
亲,该文档总共11页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
数列的通项公式与递推公式学习目标:1.递推公式是给出数列的一种方法,根据特殊的递推公式可以求出数列的通项公式.2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法,体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程.学习重点:处理递推关系的基本方法.学习难点:通过变形转化成等差、等比数列的有关问题.1.利用数列的前项和,例1:各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.Z求数列ak 。解:当,由及,得当时,由,得因为,所以从而,故练习1:已知数列的前项和,则其通项;若它的第项满足,则练习2:设数列满足,求数列的通项。解: 验证时也满足上式,练习3:数列的前项和为,求数列的通项解:(I)an+1=2Sn, Sn+1-Sn=2Sn, =3. 又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n-1(nN*).当n2时,an-2Sn-1=23n-2(n2), an=练习4:已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,求的通项公式。解:由,解得或,由假设,因此,又由,得,即或,因,故不成立,舍去因此,从而是公差为,首项为的等差数列,故的通项为2利用递推关系21 递推关系 其中为常数 由递推式得,诸式相加,得 ,即为累加法求数列通项公式。例1:数列中,(是常数,),且成公比不为 的等比数列求的通项公式解:,因为,成等比数列,所以,解得或当时,不符合题意舍去,故当时,由于, , ,所以又,故当时,上式也成立,所以练习1:已知数列满足,求数列的通项公式。解:当时, 当时,也满足上式,故。练习2:已知数列满足,且,求数列的通项公式。解:两边同除以,得,令,有: ,且,从而, 故 。22 递推关系 其中为常数由递推式得,诸式相乘,得 ,即为累乘法求数列通项公式。例1:已知数列的首项,其前项和,求数列的通项公式。解:由,得,所以 故,诸式相乘得,即 ,当时也满足上式。故 。练习1:数列满足且,求数列的通项公式。解:, 即,从而 。23 递推关系 其中为常数且 令,整理得,所以,即,从而,所以数列是等比数列。 例5:已知数列中,求的通项公式。 解: ,所以,数列是首项为,公比为的等比数列, ,即的通项公式为,练习1:设数列的首项求的通项公式。解:由 整理得 又,所以是首项为,公比为的等比数列,得 练习2:已知数列:3,5,7,9,。另作一数列,使得,且当时,求数列的通项公式。解:由已知得,有, 所以,故 。练习3:数列中,设且,求数列的通项公式。 解:由 得,令,有,则 ,所以, 从而 ,故 。24 递推关系 其中为常数且,为非常数由递推式两边同除以,得,对此采用2. 1中所述的累加法可求。 例1:在数列中,其中求。解:由N可得所以为等数列,其公差为1,首项为0.故所以数列的通项公式为练习1:数列的前项和为且满足,求。 解:由 有:,两式相减得: 即:,两边同除以,得: ,令,则,从而 。 故。25 递推关系 其中为常数251 若时,即,知为等比数列,对此采用3. 1中所述的累加法可求。例1:已知数列满足,求数列的通项公式。解:由两边减去 得:,所以是公比为,首项为的等比数列,所以 ,即 ,即练习1:已知数列中,求数列的通项公式。解:由两边减去 得:,所以 是公比为,首项为的等比数列,所以,即 ,即 252 若时,存在满足,整理得,有,从而是等比数列,对此采用2. 4中所述的方法即可。3利用倒数变形,,两边取倒数后换元转化为。例1:已知数列满足:,求数列的通项公式。解:取倒数: 是等差数列,练习1:数列满足:,且,求 。解:将条件变为:1,因此为一个等比数列,其首项为1,公比,从而1,据此得 。练习2:数列满足:,求数列的通项公式。解:,所以,令,则,因而是首项为,公差为的等差数列,所以 ,故 。4利用归纳猜想例1:设正整数数列满足:,且对于任何,有(1) 求,;(2)求数列的通项解:由,猜想:下面用数学归纳法证明1当,时,由(1)知均成立;2假设成立,则,则时由得因为时,所以 ,所以又,所以故,即时,成立由1,2知,对任意,练习1:已知点的序列,其中,是线段的中点,是线段的中点,是线段的中点,(1)写出与之间的关系式()。(2)设,计算, 并求出数列的通项公式。解:(1)当(2) 由此推测,下面用数学归纳法证明:假设当n=k时公式成立,即成立,那么当n=k+1时 公式仍成立综上对任意公式都成立。5利用函数的不动点(方程的特征根)51 若数列满足,且是方程的最小根,则。 例1:已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,则是其最小根,得,由题意知,两边取对数,得,两边同时加1,得:,故是首项为公比为2的等比数列,所以 , 故 。 52 若数列满足且。521 若方程有两个相异实根,则 。例1:已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得为其两根,所以有, 所以数列是以为首项,以为公比的等比数列, 所以, 故 。522 若方程有两个相等实根,且,则。 例1:已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得为其根,所以 ,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列, 所以, 故 。53 若数列满足,若是方程的两个相异实根,则 例1:已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得为其两根,所以,两边取对数,得,所以数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以 , 故 。 达标练习1、已知数列满足,且,求通项2、已知数列中, , 求通项3、已知数列中, , 求通项4、已知数列中, 通项5、已知数列中, nN* 求通项6、数列中, , ,求通项7、已知数列满足,,求通项8、已知数列满足, ,求通项9、已知数列满足,, 通项10、已知在数列中,11、已知数列中,nN* 求通项12、已知数列满足,,求通项13、已知:数列满足:=1, 求通项公式14、已知在数列中, 15、已知数列满足 ,求通项16、数列中, , ,求通项17、已知数列中,求通项11
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号