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例谈函数应用问题中的“误区” 函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题,就是“数学建模”,它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”等几种解题误区,下面就函数应用问题中的这几个误区进行举行分析:一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错例1、某工厂拟建一座平面图(如图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外壁建造单价为每米400元,中间两条隔壁建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖)(1)、写出总造价(元)与污水处理池长(米)的函数关系式,并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.错解:(1)污水处理池的长为米,则宽为米,总造价=(2),当且仅当,即最低造价为44800元.错因分析:上述解法中的思路是正确的,第(1)问列的式子也正确,但是定义域是不严格的,应由已知条件进一步缩小范围:.第(2)问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为,但在定义域内取不到18,所以应根据函数的单调性进行分析求解.正解:(1),则定义域为.(2)在定义域上为减函数, 所以长和宽分别为16米,米时,总造价最低且为45000元.二、由于对实际问题理解不全面而致错例2、在一个交通拥挤及事故易发路段,为了确保交通安全,交通部门规定,在此路段内的车距与车速(单位:)的平方和车身长(单位:)的乘积成正比,且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为(单位:),且当车速为时,车距恰为车身长,问交通繁忙时应规定怎样的车速,才能在此路段的车流量最大?错解:,将代入得,又将代入得,由题意得,将,综上所知:取最大值.错因分析:上述解法中的结果虽然正确,但解题过程中是错误的,即虽然车速要求不低于,所以在求解过程中应分此两种情况分类求解,得到分段函数.正解:依题意,得,则,显然,当时,是的增函数,时,当时,当且仅当时,综上所述,当时车流量Q取到最大值.三、结果与事实不符而致错例3、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟),按30元计费;超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短(小于60分钟的),使用量在1分钟以下不计费,在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。(1)写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式;(2)12月小王WAP上网使用量为20小时,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?错解:(1)设上网时间为分钟,由已知条件所付费用关于的函数关系式为(2)当分钟,应付元,(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由解析式可得上网时间为600分钟。错解分析:此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错,产生了与事实相违的结论,如第(2)小题上了1200分钟的网,要180元,是30元包月用500分钟的6倍,而时间上才2倍多,与事实不符;又如第(3)小题,用了90元,几乎是30元的3倍,而可上网时间才多了100分钟,与事实不符.正解:(1)设上网时间为分钟,由已知条件所付费用关于的函数关系式为(2)当分钟,应付元,(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由解析式可得上网时间为900分钟.函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤,注意避免进入以上几个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步,审题:弄清题意,分清条件结论,理顺数量关系;建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;求模:求解数学模型,得到数学结论;还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.4用心 爱心 专心
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