3 1 3频率与概率 投掷硬币的试验 虽然我们不能预先判断出现正面向上 还是反面向上 但是假定硬币均匀 直观上可以认为出现正面与反面的机会相等 即在大量试验中出现正面的频率接近于0 5 历史上有些学者做过成千上万次的投掷硬币的试验 结果如下表 抛硬币试验 我们可以设想有1000人投掷硬币 如果每人投5次 计算每个人投出正面的频率 在这1000个频率中 一般说 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1都会有 而且会有不少是0或1 如果要求每个人投20次 这时频率为0 0 05 0 95 1的将会变少 多数频率在0 35 0 65之间 甚至于比较集中在0 4 0 6之间 如果要求每人投掷1000次 这时绝大多数频率会集中在0 5附近 和0 5有较大差距的频率值也会有 但这样的频率值很少 而且随着投掷次数的增多 频率越来越明显地集中在0 5附近 人们经过大量试验和实际经验的积累逐渐认识到 在多次重复试验中 同一事件发生的频率在某一数值附近摆动 而且随着试验次数的增加 一般摆动幅度越小 频率呈现一定的稳定性 频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小 事件的频率稳定在某一数值附近 我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小 事件的概率 一般地 在n次重复进行的试验中 事件A发生的频率 当n很大时 总在某个常数附近摆动 随着n的增加 摆动幅度越来越小 这时就把这个常数叫做事件A的概率 记为P A 由定义可得概率P A 满足 必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况 注意点 1 随机事件A的概率范围 因此 随机事件发生的概率都满足 0 P A 1 2 频率与概率的关系 1 联系 随着试验次数的增加 频率会在概率的附近摆动 并趋于稳定 在实际问题中 若事件的概率未知 常用频率作为它的估计值 2 区别 频率本身是随机的 在试验前不能确定 做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同 而概率是一个确定数 是客观存在的 与每次试验无关 例1 为了确定某类种子的发芽率 从一大批种子中抽出若干批作发芽试验 其结果如下 从以上的数据可以看出 这类种子的发芽率约为0 9 例2 某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数 单位 人 如下 1 试计算男婴各年出生频率 精确到0 001 2 该市男婴出生的概率约是多少 1 1999年男婴出生的频率为 解 同理可求得2000年 2001年和2002年男婴出生的频率分别为 0 521 0 512 0 512 2 各年男婴出生的频率在0 51 0 53之间 故该市男婴出生的概率约是0 52 概率的意义 像木棒有长度 土地有面积一样 概率是对随机事件发生的可能性大小的度量 它反映了随机事件发生的可能性的大小 但随机事件的概率大 并不表明它在每一次试验中一定能发生 概率的大小只能说明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小 即随机性中含有的规律性 认识了这种随机性中的规律性 就使我们能比较准确地预测随机事件发生的可能性 例2 如果某种彩票的中奖概率为1 1000 那么买1000张这种彩票一定能中奖吗 解 买1000张彩票相当于1000次试验 对于一次试验来说 其结果是随机的 即有可能中奖 也有可能不中奖 但这种随机性又呈现一定的规律性 彩票的中奖概率为1 1000是指当试验次数相当大 即随着购买彩票的张数的增加 大约有1 1000的彩票中奖 因此 买1000张彩票 即做1000次试验 其结果仍是随机的 可能一次也没有中奖 也可能中奖一次 二次 甚至多次 例3 在生活中 我们有时要用抽签的方法来决定一件事情 例如5张票中有1张奖票 5个人按顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票 那么 先抽或是后抽 后抽人不知道先抽人抽出的结果 对各人来说公平吗 也就是说 各人抽到奖票的概率相等吗 解 不妨把问题转化为排序问题 即把5张票随机地排列在位置1 2 3 4 5上 对于这张奖票来说 由于是随机排列 因此它的位置有5种可能 故它排在任一位置上的概率都是 5个人按排定的顺序去抽 比如甲排在第1位上 那么他抽得奖票的概率 即奖票恰好排在第1个位置上的概率为 因此 不管排在第几位上去抽 在不知前面的人抽出结果的前提下 得到奖票的概率都是 例4 生活中 我们经常听到这样的议论 天气预报说昨天降水概率为90 结果根本一点雨都没下 天气预报也太不准确了 学了概率后 你能给出解释吗 解 天气预报的 降水 是一个随机事件 概率为90 指明了 降水 这个随机事件发生的概率 我们知道 在一次试验中 概率为90 的事件也可能不出现 因此 昨天没有下雨 并不说明 昨天的降水概率为90 的天气预报是错误的 例5 从一批准备出厂的电视机中 随机抽取10台进行质量检查 其中有一台是次品 能否说这批电视机的次品的概率为0 10 解 这种说法是错误的 概率是在大量试验的基础上得到的 更是多次试验的结果 它是各次试验频率的抽象 题中所说的0 10 只是一次试验的频率 它不能称为概率