12.3等比数列1等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法： q (q 是不为 0 的常数，nN*)an 是等比数列；an 1an(2)通项公式法：ancqn (c，q 均是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列；(3)中项公式法：a anan2 (anan1an20，nN*)an是等比数列；2n 1(4)前 n 项和法：若 SnA(qn1)，(A0，q0 且 q1)则an是等比数列，其中 A.a11 q例如：等比数列an的前 n 项和是 Sn32nt，则 t 的值是_解析an是等比数列，Sn32nt9 nt9 ，(13) (13)n 1t9.答案92等比数列的通项公式(1)通项公式ana1qn1 (其中 a1 为等比数列an的首项，q 为其公比)(2)等比数列与函数的关系由通项公式 ana1qn1，可得 an qn，当 q0，且 q1 时，yqx 是一个指数函数，a1q而 y qx 是一个不为零的常数与指数函数的积因此等比数列an的图象是函数a1qy qx 的图象上的一些离散点a1q例如：已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比 q1，且 bn0，若a1b1，a11b11，则 a6 与 b6 的大小关系是_解析bn0，b10，q0.点(n，bn)分布在函数 y qx 的图象上点(n，an)分布(b1q)在函数 ydx(a1d)的图象上当 q1 时，它们的图象如图 1 所示；当 01 还是 0b6.答案a6b63等比数列的前 n 项和等比数列前 n 项和公式为SnError!注意：等比数列前 n 项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比 q 是否为1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，当公比 q 不确定时，要注意对 q 分 q1 和 q1 进行讨论例如：1aa2an1_.(其中 a0)答案Error!4等比数列的常用性质在等比数列an中，(1)对任意的正整数 m，n，有 anamqnm.(2)对于任意的正整数 m，n，p，q，若 mnpq，则有 amanapaq.(3)当Error!或Error!时，an是递增数列；当Error!或Error!时，an是递减数列；当 q1 时，an为常数列；当 q0，它的前 n 项和为 80，且其中数值最大的项为54，前 2n 项的和为 6 560.求此数列的通项公式分析因为前 n 项和与 2n 项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项 a1 与公比 q 之间的关系，进而确定 an.解设数列的公比为 q，由 Sn80，S2n6 560，得 q1，否则 S2n2Sn.Error!，得 qn81.将 qn81 代入得，a1q1.又a10，q1.数列an是递增数列从而，a1qn154，a1qn54q，81a154q.联立，解得 q3，a12.ana1qn123n1.三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列an是等比数列，c 是不等于 0 的常数，那么数列can仍是等比数列；4(2)如果an，bn是项数相同的等比数列，那么数列anbn， 仍是等比数列；anbn(3)在等比数列an中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列如a1，a4，a7，a10，；(4)Sn 为等比数列an的前 n 项和，一般地：Sn，S2nSn，S3nS2n 构成等比数列(q1 或 n 为奇数)；(5)若an是公比为 q 的等比数列，则 SmnSnqnSm.解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度例 3在等比数列an中，(1)若 q ，S9977，求 a3a6a99 的值；12(2)若an的前 m 项和为 2，其后 2m 项和为 12，求再后 3m 项的和解(1)S99(a1a4a97)(a2a5a98)(a3a6a99) (a3a6a99)7(a3a6a99)77(1q2 1q 1)a3a6a9911.(2)涉及an的前 6m 项，把每 m 项之和依次记作：A1，A2，A3，A4，A5，A6，则它们成等比数列公比记作 q.且 A12，A2A312，A2A32q2q212，q2 或 q3当 q2 时，A4A5A6A1(q3q4q5)2(232425)112；当 q3 时，A4A5A6A1(q3q4q5)2(3)3(3)4(3)5378.后 3m 项的和为 112 和378.四、错位相减求前 n 项和方法链接：等比数列an的前 n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题例 4设数列an的前 n 项和为 Sn2n2，bn为等比数列，且 a1b1，b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设 cn ，求数列cn的前 n 项和 Tn.anbn解(1)当 n1 时，a1S12；当 n2 时，anSnSn12n22(n1)24n2，a1 也满足上式故an的通项公式为 an4n2，即an是 a12，公差 d4 的等差数列设bn的公比为 q，则 b1qdb1，d4，q .14故 bnb1qn12 ，14n 1即bn的通项公式为 bn .24n 15(2)cn (2n1)4n1，anbn 4n 224n 1Tnc1c2cn134542(2n1)4n1，4Tn14342543(2n3)4n1(2n1)4n.两式相减得3Tn12(442434n1)(2n1)4n (6n5)4n5，13Tn (6n5)4n519五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为 a1，a1q，a1q2，之外，若已知连续三项，常可设为 ，a，aq，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解aq例 5互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列解设三个数为 ，a，aq，a38，即 a2，aq三个数为 ，2，2q.2q(1)若2 为 和2q 的等差中项，则 2q4，2q 2qq22q10，q1，与已知矛盾；(2)若2q 为 与2 的等差中项，则 12q，2q 1q2q2q10，q 或 q1(舍去)，12三个数为 4,1，2；(3)若 为2q 与2 的等差中项，则 q1 ，2q 2qq2q20，q2 或 q1(舍去)，三个数为 4,1，2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，2 或2,1,4.六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数2一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列例 6设 An 为数列an的前 n 项和，An (an1) (nN*)，数列bn的通项公式为326bn4n3 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)将数列an、bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项公式为 dn32n1 (nN*)(1)解由已知 An (an1) (nN*)32当 n1 时，a1 (a11)，解得 a13.32当 n2 时，anAnAn1 (anan1)，32由此解得 an3an1，即 3 (n2)anan 1所以数列an是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故 an3n (nN*)(2)证明由计算可知 a1，a2 不是数列bn中的项因为 a327463，所以 d127 是数列bn中的第 6 项设 ak3k 是数列bn中的第 m 项，则 3k4m3 (k，mN*)，因为 ak13k133k3(4m3)4(3m2)1，所以 ak1 不是数列bn中的项而 ak23k293k9(4m3)4(9m6)3，所以 ak2 是数列bn中的项由以上讨论可知 d1a3，d2a5，d3a7，dna2n1.所以数列dn的通项公式是dna2n132n1 (nN*)1求和时项数不清而致错例 1求 12222n 的和错解12222n 2n1.1 2n1 2点拨错因在于没有搞清项数，首项为 120，末项为 2n，项数应为 n1 项正解这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列前 n1 项的和，所以，12222n 2n11.1 2n 11 2温馨点评数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前 n 项和 Sn (q1)中a1 1 qn1 q的 n 指的就是数列的项数2利用等比数列求和公式忽视 q1 的情形而致错例 2已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式错解设等比数列的公比为 q，7则Error!解得 q .12所以 ana3qn34 n3 n5.(12) ( 12)点拨上述解法中忽视了等比数列前 n 项和公式中 q1 这一特殊情况正解当 q1 时，a34，a1a2a34，S3a1a2a312，q1 符合题意an4.当 q1 时，Error!解得：q ，ana3qn3 n5.12 ( 12)故数列通项公式为 an4 或 an n5.(12)3忽略题目中的隐含条件而致错例 3已知数列1，a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，求的值a2 a1b2错解1，a1，a2，4 成等差数列，设公差为 d，则 a2a1d (4)(1)1.131，b1，b2，b3，4 成等比数列b (1)(4)4，b22.2当 b22 时， ，a2 a1b2 12 12当 b22 时， . .a2 a1b2 1 2 12 a2 a1b2 12点拨注意 b2 的符号已经确定，且 b20且 b1，b，r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn (nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.n 14an解(1)由题意，Snbnr，当 n2 时，Sn1bn1r.所以 anSnSn1bn1(b1)由于 b0 且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列又 a