3.3一元二次不等式及其解法1一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：axb.若 a0，则其解集为 .若 aba则其解集为 .x|x0 或 ax2bx c0)不妨设方程 ax2bx c 0 的两根为 x1、x 2 且 x10 (a0)的解集，就是二次函数yax 2bxc (a0)在 x 轴上方部分的点的横坐标 x 的集合； ax2bxc0)的解集，就是二次函数 yax 2bx c ( a0)在 x 轴下方部分的点的横坐标 x 的集合从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值3简单的高次不等式的解法数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x 1)( x2)(x3)0.我们可以列表如下：x 的区间 x3x1 x2 x3 (x3)(x2)(x1) 把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x1)( x2)(x3)0 的解集是 x|13一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如 p(x)( xx 1)(xx 2)(xx n)0 (或0f(x)g(x)0.fxgx(2) .2x 1x 3 2x 13x 2解原不等式 02x 1x 3 2x 13x 2 0 02x 12x 33x 2 (x 12)2x 3(x 23)x3.12 12 23原不等式的解集为 (3，) ( ， 12) ( 12，23)5恒成立问题(1)f(x)a，xD 恒成立f(x) mina，x D 恒成立；f(x)a，xD 恒成立f( x)maxa，xD 恒成立；(2)ax2bxc0 恒成立Error! 或Error!ax2bxc0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x10kx 3k 2x 2(x2)(kx3k2)0当 k0 时，原不等式解集 为x |x2 ；当 k0 时，( kx3k 2)(x 2)0，变形为 (x2)0(x 3k 2k ) 3 32， 2.3k 2k故解集为 .x|x 2或 x0，2 .k 2k 3k 2k不等式的解集为 .x| 3k 2k 2；当 k0 时，不等式的解集为；x|x 2当22xp.(1)如果不等式当| p|2 时恒成立，求 x 的取值范围；(2)如果不等式当 2x4 时恒成立，求 p 的取值范围分析题中不等式含有两个字母 x，p，由 (1)的条件可知， 应视 p 为变量， x 为常量，再求 x 的范围；由 (2)的条件可知， 应视 x 为变量，p 为常量，再求 p 的范围解(1)不等式化为：(x 1)px 22x 10 ，令 f(p)(x1)px 22x 1，则 f(p)的图象是一条直 线又因为| p|2，所以2p2，于是得：Error!即Error! 即Error!x3 或 x3 或 xx 22x1，2x4， x10.p 1x.由于不等式当 2x4 时恒成立，所以 p(1x) max. x2 2x 1x 1而 2x4，所以 (1x )max 1，于是 p1.故 p 的取值范围是 p1.四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件常常从以下几个关键点去限制，判别式，对称轴，根所在区间端点函数值的符号例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x22mx2m 10.若方程有两根，其中一根在(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围解设 f(x)x 22mx2m1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组Error!解得： 0 对 xR 恒成立Error! ，即Error!，a1.错解 2函数 ylg(ax 22xa)的值域为 R.代数式 ax22x a 能取遍一切正值4 4a 2 0，1a1.点拨上述解法 1 把值域为 R 误解为定义域为 R；解法 2 虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了 a(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则()A1(ax)2，(a 21) x22bxb 20.又 a10，a1.不等式变形为(a1)x b(a1)xb 1，b0， 0,0 1，ba 1 ba 1 x ，b1 a ba 1其中含三个整数，3 2,2 3.b1 a ba 12a2b3a3.Error! Error!1 a3.答案C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用