宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明它通常用来证明下列几类命题一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有”，“不是”，“不存在”等）的命题，宜用反证法例1求证：是无理数分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数证明：假设不是无理数，即为有理数，则设，互质）从而得，上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立故是无理数例2证明：一个三角形中不可能有两个直角分析：用三角形内角和为证一个三角形中不存在两个直角证明：假设一个三角形中有两个直角不妨设，这与三角形内角和定理矛盾假设不成立，即原命题成立二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少”或“至多”，“不都”则可考虑用反证法例3已知、，且2（）求证：方程和中，至少有一个方程有实根分析：“至少有一个”是“有一个”、“有两个”，它的反面是“一个都没有”证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于，即：（）代入上式得，即这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立故这两方程中，至少有一个方程有实根三、唯一性命题若一个命题的结论是“唯一”的形式出现，则可考虑用反证法例4 求证：在一个平面内，过直线外一点P只能作出一条直线垂直于 证明：假设过点可以作两条直线垂直于直线如图，那么PABPBAABP于是APBPABPBA 即PAB的内角和大于，这与定理“三角形内角和等于”相矛盾，故假设不成立2 / 2