2.1 点、线、面之间的位置关系1平面概述（1）平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。（4）点A在直线上，记作：；点A在平面内，记作：；直线在平面内，记作2.平面的基本性质:公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线符号语言A、B、C不共线A、B、C确定平面推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。异面直线的画法常用的有下列三种：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补2.2线面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：3两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线） 两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：（2）两个平面平行的性质a) 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；b) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1下列命题正确的是 （ ）A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A0 B1 C1或4 D无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体中，P、Q分别为的中点，则四边形是（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D空间四边形5、在空间四边形中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD， 且，则四边形EFGH为 6、下列命题正确的是（ ）A.若，则直线为异面直线 B.若，则直线为异面直线C.若，则直线为异面直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L外两点作与直线L平行的平面，可以作（ ） A1个 B1个或无数个 C0个或无数个 D0个、1个或无数个9、，且与平面相交，那么直线与平面的位置关系是（ ） A必相交 B有可能平行 C相交或平行 D相交或在平面内10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A一条直线不相交 B两条直线不相交C任意一条直线不相交 D无数条直线不相交11、如果两直线，且平面，则与平面的位置关系是（ ）A相交 B C D或12、已知直线与直线垂直，平行于平面，则与平面的位置关系是（ ）A B C与平面相交 D以上都有可能13、若直线与直线是异面直线，且平面，则与平面的位置关系是（ ）A B与平面相交 C D不能确定14、已知平面，直线，则直线与直线的关系是（ ） A相交 B平行 C异面 D平行或异面15、平面平面，平面平面，平面平面，若，则与的位置关系是（ ）A与异面 B与相交 C至少与中的一条相交 D与都平行16、下列各命题：（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；（2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中错误的命题的个数为 ( )A 0 B 1 C 2 D 317、是异面直线，则过且与平行的平面有个18、判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线，则l不可能与内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l与平面不平行，则l与内任一直线都不平行 ( )(4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )(5)若平面内有一条直线和直线l异面，则 ( ) 19、已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM面EFG 20、在正方体中，E为的中点，求证：面AEC21、在正方体中，E、F分别为BC、的中点，求证：EF/平面22、如图，四边形ABCD是矩形，面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，DBACEFP 交DP于F，求证：四边形BCFE是梯形23在正方体中，S为的中点，E,F,G分别是BC,DC,SC的中点，求证：（1）直线EG/面 (2)平面EFG/平面点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C 2、C 3、3 4、B 5、正方形 6、D 7、 8、D（提示：当时，就为0个） 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、B 17、1 18 对、错、错、错、对19、提示：连结MD交GF于H，则点H为MD的中点20、提示：连接交于点O，连接EO，则EO/，又面， 故/面21、提示：取的中点为，连接，则且，则 四边形是平行四边形，故22、分析：因为，所以BC/面ADP，所以BC/EF，所以EF/AD，但EF的长度 小于的长度，而，所以EF的长度小于BC的长度2.3 直线、平面垂直的判定以及性质1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。2线面垂直（1）定义：如果一条直线l和一个平面相交点P，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面,直线与平面的交点P叫做垂足。直线l与平面垂直记作：l。（2）直线和平面垂直的画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图，记作。（3）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。符号表示：若则。推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。符号表示：（4）直线和平面垂直的性质定理：a)如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 符号表示： b)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.符号表示：3面面垂直（1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。平面a、b互相垂直，记作（2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。符号表示：，。（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：，。【直线和平面垂直的判定和性质练习】一、 选择题：1、直线l/平面，那么l和平面的位置关系是（ D ）。 （A） 线在面内 （B）平行 （C）相交 （D）以上情况都有可能2、直线平面，直线m内，则有 ( D )A.和异面 B.和相交C. D.不平行于3、 直线和平面内无数直线垂直，则( D )A.和相互平行 B.和相互垂直C.在内 D.不确定 4、 直线a与直线垂直，又垂直于平面，则a与的位置关系是 ( D )A.a B.a C.a D.a或a5、 下列命题中，假命题是( D )A.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直B.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行C.平面的垂线与这个平面一定相交D.如果一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线与这个平面平行6、 若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角( A )A.60 B. C. D.7、 正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( B )A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A8、 一直线和两条相交直线都相交，那么它们所确定的平面的个数是（ D ）。 （A）