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二次函数简单综合问题提分专练07|类型1|二次函数与方程(不等式)的综合1.2019荆门抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3答案 C解析当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.2.2019泸州已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()A.a-1C.-1a2D.-1a2答案 D解析y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,抛物线与x轴没有公共点,=(-2a)2-4(a2-3a+6)0,解得a2.抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a,抛物线开口向上,而当x-1时,y随x的增大而减小,a-1,实数a的取值范围是-1a0,即m-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.|类型2|二次函数与直线的综合4.2018孝感 如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.解析抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),y=ax2,y=bx+c的解为x1=-2,y1=4,x2=1,y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.5.2019北京 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1a与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(12,-1a),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)抛物线与y轴交于点A,令x=0,得y=-1a,点A的坐标为(0,-1a).点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B的坐标为(2,-1a).(2)抛物线过点A(0,-1a)和点B(2,-1a),由对称性可得,抛物线对称轴为直线x=0+22=1.(3)根据题意可知,抛物线y=ax2+bx-1a经过点A(0,-1a),B(2,-1a).当a0时,则-1a0,分析图象可得:点P(12,-1a)在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛物线没有交点.当a0.分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时-1a2,即a-12.综上所述,当a-12时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.|类型3|二次函数的最值问题6某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为多少元时,该服装店平均每天的销售利润最大.解:设每件的定价为x元,每天的销售利润为y元.根据题意,得y=(x-15)8+2(25-x)=-2x2+88x-870.y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.a=-20,抛物线开口向下,当x=22时,y最大值=98.7.2019台州 已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c,得4=(-2)2-2b+c,c=2b,b,c满足的关系式是c=2b.(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,得y=x2+bx+2b,顶点坐标是(m,n),n=m2+bm+2b,且m=-b2,即b=-2m,n=-m2-4m. n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.(3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,-4-b20.当-4-b2-2,即4b8时,如图所示,当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,(1+3b)-8b-b24=16,即b2+4b-60=0,b1=6,b2=-10(舍去);当-2-b20,即0b4时,如图所示,当x=-5时,函数取到最大值y=25-3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,(25-3b)-8b-b24=16,即b2-20b+36=0,b1=2,b2=18(舍去).综上所述,b的值为2或6.|类型4|二次函数与平行四边形的综合8.2019孝感节选 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)点A的坐标为,点B的坐标为,线段AC的长为,抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.解:(1)点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0);线段AC的长为25, 抛物线的解析式为:y=12x2-x-4.(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.点C(0,-4),-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,P(2,-4).PC=2,若四边形BCPQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB+BQ=6,Q(6,0).若四边形BPCQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB-BQ=2,Q(2,0).故以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,Q点的坐标为(6,0),(2,0)|类型5|二次函数与相似三角形的综合9.2019镇江 如图,二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C,N是线段DC上一点(不与点D,C重合),点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA,DB分别交于点P,Q,使得DPQ与DAB相似.当n=275时,求DP的长;若对于每一个确定的n的值,有且只有一个DPQ与DAB相似,请直接写出n的取值范围.解:(1)(2,9)(2)对称轴为直线x=2,y=252+1=95,C(2,95).由已知可求得A(-52,0),点A关于直线x=2对称的点的坐标为(132,0),则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13,令-2x+13=25x+1,得x=5,255+1=3,B(5,3).当n=275时,N(2,275),由D(2,9),A(-52,0),B(5,3),C(2,95),可得DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.当PQAB时,DPQDAB,PQAB,DACDPN,DPDA=DNDC,DP=954;当PQ与AB不平行时,DPQDBA,易得DNPDCB,DPDB=DNDC,DP=352.综上所述,DP=954或352.95n215解析当PQAB,DB=DP时,DPNDAC,DPDA=DNDC,即35952=DN365,DN=245,N(2,215),易知在N(2,215)与C(2,95)之间时,有且只有一个DPQ与DAB相似.有且只有一个DPQ与DAB相似时,95n215.故答案为95n215.
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