第三练-函数导数1下列求导运算正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，B选项错误；对于C选项，C选项错误；对于D选项，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，考查了计算能力，属于基础题2已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令求出正确选项.【详解】依题意有，故，所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.3曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，可得的值【详解】对函数求导得，由题意可得，解得.故选：A.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题4已知函数在处取得极值10，则（ ）A或B或CD【答案】D【解析】【分析】根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可.【详解】函数在处取得极值10，所以，且，解得或，当时，根据极值的定义知道，此时函数无极值；当时，令得或，符合题意；所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.5，若，则等于（ ）AB1CD【答案】B【解析】【分析】可求出导函数，从而根据即可得出的值【详解】，解得故选：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于容易题6已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】由，即，得，令，其中，令，得，列表如下：极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，函数的最小值为，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式能成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值是一种常见的解法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )A个B个C个D个【答案】C【解析】【分析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数。【详解】根据极小值点存在的条件，在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C。【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点。8设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.9已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】函数没有零点，即函数的导函数恒为正或恒为负，即在定义域内单调，只有唯一实根，即，可得可得在定义域内单调递增，在上的单调递增，利用导函数恒大于等于零即可求解.【详解】函数没有零点，即函数或恒成立，即在定义域内单调，则只有唯一实根，设该实根为（为常数），即，所以在定义域内单调递增，所以在上的单调递增，恒成立，恒成立，恒成立所以所以故选：B【点睛】此题考查通过导函数讨论函数单调性问题，涉及方程的根，不等式恒成立求参数范围问题，综合性比较强.10关于函数，下列说法正确的是( )（1）是的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则.A(1) (2)B(2)(4)C(1) (2) (4)D(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】【分析】对于（1），对函数求导，得出函数的单调性，可判断；对于（2）令，对其求导，得出其单调性，且可得出当时,可判断；对于（3），令，对其求导，得出其单调性，取特殊函数值，可判断；对于（4），对函数求导可得，分析判断出在上单调递增，也即是，在单调递增，将已知条件转化为 在上至少有两个不同的正根,可得，令 对求导，分析的单调性，可得出的范围，可判断命题.【详解】对于（1），由题意知,，令得，所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增，所以是的极小值点,故（1）正确;对于（2）令，则.函数在上单调递减, 又当时,，所以函数有且只有1个零点，故（2）正确；对于（3），令，则，所以函数在单调递减，且，所以函数在内不是恒成立的，所以不是恒成立的，故（3）不正确；对于（4），因为，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，且，所以当时，所以在上单调递增，也即是，在单调递增，又因为在上的值域是，所以 ,则 在上至少有两个不同的正根, 则，令求导得令，则，所以 在上单调递增，且，所以当时， ，当时，所以在是单调递减，在上单调递增，所以，而所以，故（4）正确；所以正确的命题有：（1）（2）（4），故选：C.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、零点、交点的个数、不等式恒成立等综合问题，在解决这些综合问题时常常需合理地构造新函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出所构造的函数的单调性，继而得出函数的极值、最值等，解决不等式的恒成立、函数的零点个数、函数图象的交点个数的问题，属于难度题.11函数的图象在处的切线被圆截得弦长为2，则实数a的值为_.【答案】或2【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出在处的切线，根据圆的弦长，得到圆心距，根据圆心到切线的距离公式，得到关于的方程，从而得到的值.【详解】因为所以代入切点横坐标，可知切线的斜率.又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为.又因为圆圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离.因为切线被圆截得弦长为2，则，解得实数的值是或.故答案为：或【点睛】本题考查导数的几何意义求在一点的切线方程，根据圆的弦长求参数，属于中档题.12设函数满足，现给出如下结论：若是上的增函数，则是的增函数；若，则有极值；对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.其中正确结论的为_.【答案】【解析】【分析】根据可得，消元，再根据相关知识对各命题进行判断即得【详解】因为，所以，化简得对，是二次函数，其对称轴为，而函数在和的图象关于对称，当是上的增函数时，当时，故是的增函数，正确对，当时，即，又，而，所以有极值；当时，所以有极值，故正确对，由可得，变形为，对，当时，方程有唯一的实根，即；当时，方程没有实根，即，故正确故答案为：【点睛】本题主要考查函数与导数的综合运用，涉及单调性，极值的判断，以及直线与曲线的交点问题，意在考查学生综合分析和解决问题的能力，属于较难题13已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，故函数的最小值为.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.14已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围【答案】(1)增区间，减区间；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正【详解】（1）函数的定义域是，时，当时，递减，当时，递增的增区间是，减区间是；（2），由题意当时，恒成立，或恒成立若，当时，；若，当时，无最小值，不可能恒成立；综上【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性解题时只要求出导函数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间15已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的最大值【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值.【详解】（1），当，即时，此时在上单调递增；当时，有两个负根，此时在上单调递增；当时，有两个正根，分别为，此时在，上单调递增，在上单调递减综上可得:时，在上单调递增，时，在，上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可得，令，则当时，；当时，在上单调递增，在单调递减的最大值为【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，难度较难.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.