第九节函数模型及其应用 内容索引 必备知识 自主学考点 精准研析核心素养 微专题核心素养测评 教材 知识梳理 1 几类函数模型 2 三种函数模型的性质 递增 递增 y轴 x轴 常用结论 对勾 函数 形如f x x a 0 的函数模型称为 对勾 函数模型 1 该函数在 和 上单调递增 在 0 和 0 上单调递减 2 当x 0时 x 时取最小值2 当x 0时 x 时取最大值 2 知识点辨析 正确的打 错误的打 1 函数y 2x的函数值比y x2的函数值大 2 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来越快的形象比喻 3 幂函数增长比直线增长更快 4 不存在x0 使 提示 1 当x 1时 2 11 a 0的指数型函数y a bx c 3 幂函数增长速度是逐渐加快的 当变量较小时 其增长很缓慢 题目说的太绝对 也没有任何条件限制 4 当a 0 1 时存在x0 使 易错点索引 教材 基础自测 1 必修1P67例4改编 某工厂一年中各月份的收入 支出情况的统计图如图所示 则下列说法中错误的是 A 收入最高值与收入最低值的比是3 1B 结余最高的月份是7月C 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D 前6个月的平均收入为40万元 解析 选D 由题图可知 收入最高值为90万元 收入最低值为30万元 其比是3 1 故A正确 由题图可知 7月份的结余最高 为80 20 60 万元 故B正确 由题图可知 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 故C正确 由题图可知 前6个月的平均收入为 40 60 30 30 50 60 45 万元 故D错误 2 必修1P69习题2 3AT7改编 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C x x2 2x 20 万元 一万件售价为20万元 为获取更大利润 该企业一个月应生产该商品数量为 万件 解析 利润L x 20 x C x x 18 2 142 当x 18时 L x 有最大值 答案 18 3 必修1P120巩固与提高T9改编 某动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第2年有100只 则到第8年繁殖到 只 解析 依题设知alog33 100 a 100 当x 8时 y 100log39 200 答案 200 核心素养 数学建模 解决实际问题中的函数模型的应用 素养诠释 数学建模是对现实问题进行数学抽象 用数学语言表达问题 用数学方法构建模型解决问题 在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择函数模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的函数模型 3 解模 求解函数模型 得出数学结论 4 还原 将数学结论还原为实际意义的问题 典例 牧场中羊群的最大蓄养量为m只 为保证羊群的生长空间 实际蓄养量不能达到最大蓄养量 必须留出适当的空闲量 已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 1 写出y关于x的函数关系式 并指出这个函数的定义域 2 求羊群年增长量的最大值 3 当羊群的年增长量达到最大值时 求k的取值范围 解析 1 根据题意 由于最大蓄养量为m只 实际蓄养量为x只 则蓄养率为故空闲率为由此可得 2 由 1 知即当时 y取得最大值 3 由题意知为给羊群留有一定的生长空间 则实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量 即00 所以0 k 2 故k的取值范围为 0 2