2015 年第 3 期福建中学数学25 算范围 2 31 2 e 策略策略 4 设 2cos2sin A 得方程 22 00 22 1 xy ab 22 4ab 消参量 2 cos 22 8 16 aa 算范围 2 31 2 e 4 4 从辩证的角度出发 审视解题活动的意义从辩证的角度出发 审视解题活动的意义 数学教学是以解题为中心展开的 解题教学也 是高三数学复习的重要环节 其功能是 培养学生 运用所学知识解决实际问题的能力 在此过程中提 高学生思维水平 培养独立分析问题 解决问题的 能力 解法 1 是命题组给的参考答案 解法 2 是在解 法 1 的基础上 把条件3k 做了适当地转化 即 0 3 2 y 解法 3 4 都是利用点A在椭圆上的定 义和参量表达形式进行研究 解法 5 是选择了点A在 圆上的参量表达形式进行运算 而这 5 种不同的解 法也全部来自于学生们的自主构建 而作为教师 首先要给他们提供一个自我展示的平台 其次还要 引领他们对题目进行追根朔源 归纳出不同解法的 共性所在 最后还要组织学生对不同的解法进行优 劣判断 而在解法的选择上务必要倡导其通性通法 可见 不同的视角 产生不同的解题思路 通 过集中展示 更有利于学生感悟解决问题的通性通 法 有效提高举一反三 触类旁通的能力 在此过 程中 学生容易感受到 解题教学不要图多求难 重视引导学生多角度审视 全方位探究 复习才能 收到实效 例谈高中生函数与方程思想的培养例谈高中生函数与方程思想的培养 周丽津福建省漳州市云霄县元光中学 363300 普通高中数学课程标准 实验 对数学课 程目标提出了三个层面的要求 在知识教育层面 强调学生在获得必要的基础知识 基本技能的同时 要了解它们的来龙去脉 体会其中所蕴涵的数学思 想和方法 即知识 思想和能力是数学教学的三大 要素 数学内容是可用文字和符号来记录和描述的 而数学思想则是数学意识 重在领会 运用 属于 思维的范畴 用以对数学问题的认识 处理和解 决 虽说数学思想是蕴涵在教材显性知识中的隐性 知识 却是打开数学宝库的 金钥匙 所以说数学思 想是数学的高级统帅 是数学教学的精髓和灵魂 函 数与方程思想是高中重要的基本数学思想 教学中 怎样渗透 介绍和突出函数与方程思想 进而让学 生领悟和应用函数与方程思想呢 1 新授课中培养的示例新授课中培养的示例 数学家哈尔莫斯说过 问题是数学的心脏 方法 是数学的行为 思想是数学的灵魂 教材将数学思 想蕴涵在每个章节之中 如概念的形成 公式 定 理 法则的推导 例题 习题等均有渗透 备课时 要主动挖掘承载数学思想的知识载体 在教学设计 时将知识问题化 问题层次化 组织探究活动 让 学生在亲身经历探索思考的过程中获得对数学思想 的体验和领悟 如教 指数函数的图象与性质 时设计 问题让学生从概念形成及性质归纳中体验和领悟变 化与对应的函数思想 在讲解本节例题中比较 1 2 5 1 7与 3 1 7 2 0 1 0 8 与 0 2 0 8 大小时 引导学生通 过分别构造函数1 7xy 和1 8xy 再利用指数函数 的单调性比较大小 让学生体验和领悟应用函数思 想解题的思维策略 2 在习题或试卷讲评中培养的示例在习题或试卷讲评中培养的示例 本文以习题讲评课为例 在教函数零点时利用 教材必修 1 的 3 1 1 练习 2 利用信息技术作出函数 1 e44 x yx 的图象 并指出函数零点所在的大致 区间 在师生合作完成解答后 笔者提出问题 若 不利用信息技术 能否指出函数零点所在的大致区 间呢 笔者让学生先自主思考 教师巡视指导 再利 用小组合作学习完成 6 分钟后有小组推荐代表回 答 可以 因为求函数的零点即求 0f x 的解 也 即 1 4e4 x x 的解 若令 1 e x g x 44h xx 26福建中学数学2015年第3期 在同一直角坐标系中作出两个函数的图象 则交点 的横坐标即为函数的零点 教师充分肯定这种解法 后 及时介绍 这种方法就是 函数与方程思想 在解 题中思维策略 但教材中蕴涵数学思想的知识载体较分散 呈 螺旋式上升 利于渗透却不利于系统介绍和突出数 学思想 于是笔者尝试在阶段性复习 尤其是总复 习时选择某一数学思想为主线 设计一堂 小专题 教学 选择哪种数学思想及题目设置的难易度常依 据复习内容的特点和学生的认知水平有计划地进 行 呈螺旋式上升 收到良好的教学效果 现将这 种思考与实践以 函数与方程思想 的培养为例简介 如下 倘有不当之处 敬请同行与专家斧正 3 在在 小专题小专题 教学中培养的示例教学中培养的示例 3 1 函数思想的培养函数思想的培养 函数思想就是用运动和变化的观点 分析和研 究数学中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从 而使问题获得解决的思维策略 案例案例 1 设x y为实数 满足 3 1 2003 1 xx 1 3 1 2003 1 1yy 则xy 学生在思考 求解本题时曾出现以下几种思路 思路思路 1 尝试直接求x和y的值 再求xy 的值 这显然行不通 思路思路 2 利用两方程相加 得 2 2 1 xyx 2 1 1 1 0 xyy 但要说明第二个因式是否 为零思路受阻 可以证明不为零 让学生课后思考 这时教师适时引导学生观察两个式子的结构特征 后 有学生提出用构造函数的方法解决 即 思路思路 3 引入函数 3 2003f ttt 再说明此函 数为奇函数且为R上的增函数 从而使问题轻松得 到解决 解解 令 3 2003f ttt 则 f t为奇函数且在R 上为增函数 由 1 1 1 1 f xf yfy 则 11xy 故2xy 点评点评 本题的解题策略是通过观察两个等式的 结构特征 构建函数 3 2003f ttt 再利用函数 f t奇偶性和单调性解决问题 体现了函数思想在 解题中的重要作用 学生刚开始受思维习惯的影响 没有想到用构造函数的方法求解是很正常的 为了 让学生进一步领会 感悟运用函数思想解题的要 领 笔者课后让学生选做练习 1 或 2 加以巩固 3 2 方程思想的培养方程思想的培养 方程思想就是分析问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程或 方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思维策略 案例案例 2 已知函数 2 sin 2 3 f xaxb 的定义 域为 0 2 函数的最大值为 1 最小值为5 求a 和b的值 分析分析 由于学生在解三角函数综合题时常因思 维不够慎密出现 会而不全 教学时笔者先让学生观 察思考 再发表意见 生 1 要求a b的值一般设法由题意得到关于 a b的方程组求解 因正弦函数是有界函数 所以 由题意可列方程 21 25 ab ab 从而求出a b的值 生 2 不对 因为 f x定义域为 0 2 所以 2 2 333 x 所以 3 sin 2 1 23 x 依 题意得出 21 35 ab ab 从而求出a b的值 班上的学生有的认同生 2 的观点 有的没有表 态 还在思考 笔者适时引导学生思考 若ykx 在 1 2 上的最大值为 4 如何求k的值 有的学生恍 然大悟 指出应对a进行分类讨论 由题意可知 0a 故分0a 和0a 两种情况求解 解解 0 2 x 2 2 333 x 3 sin 2 1 23 x 若0a 则 21 35 ab ab 126 3 23 12 3 a b 若0a 则 25 31 ab ab 126 3 19 12 3 a b 综上 126 3a 23 12 3b 或126 3a 19 12 3b 点评点评 对此类问题的解决 首先利用正弦函数 余弦函数的有界性或单调性求出sin yAawx 或cos yAawx 的最值 再利用分类讨论思想确定 2015 年第 3 期福建中学数学27 最大值还是最小值 列出方程组并通过解方程组求 得问题的解决 体现了方程思想在解决带参数问题 的思维策略 课后让学生选做练习 3 或 4 加以巩固 3 3 综合应用函数与方程思想的培养示例综合应用函数与方程思想的培养示例 数学家波利亚说过 数学解题是一种命题的连 续变换 而命题的连续变换就是数学思想反复应用 的过程 函数思想与方程思想是相互联系的 在一定的 条件下可以相互转化 如解方程 0f x 就是求函数 yf x 的图象与x轴交点的横坐标 方程 f xg x 的解就是函数 yf x 与 yg x 的图象交点的横坐 标 函数思想与方程思想常常是相辅相成的 在分 析问题与解决问题时发挥重要作用 案例案例 3 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条 平行于某边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记 S 梯形的面积 梯形的周长 2 则S的最小值是 讲解前 笔者先让学生自主思考并拟出思路后 通过小组合作学习修订思路并完善解题过程 再让 速度较快的四个小组派代表板演解题过程 学生求 最小值时出现以下两种解法 解法解法 1 设剪成的小正三角形的边长为x 则 2 3 13 1 1 22 x S x xx 2 2 4 3 01 13 x x x 对 S x求导得 22 42 31 3 1 3 xx S x x 当 1 0 3 x 时 S x单调递减 当 1 1 3 x 时 S x单调递增 故当 1 3 x 时 S x的最小值是 32 3 3 解 法解 法 2 求 2 2 4 3 01 13 x S xx x 方 法 同 上 令3xt 2 3 t 111 32t 则转化为求 2 41 86 3 1 t tt 的最小值 故当 13 8t 即 1 3 x 时 S x的最小值是 32 3 3 点评点评 本题解题的关键是把 比值 表示为x的函 数 体现了函数思想 最小值的求解渗透了方程思 想 解题的关键是数学建模 构建函数解析式 教 师要注意引导学生积极思考 自主发现 体会解题 的思维策略 由于学生经过前面题型的训练后积累 了一定的解题经验 对本题的解题思路切入较快 但具体求解过程中有部分同学出现以下错误 不 能准确地用x表示梯形的高 在求最小值时 思路 对 但求导公式记错或出现计算错误 选择解法 2 求最小值时也同样出现计算错误等现象 针对以上问题 笔者引导学生在领会 感悟运 用函数与方程思想的解题要领的同时 也应注意提 高运算求解能力和综合运用知识分析问题和解决问 题的能力 课后让学生选做练习 5 或 6 加以巩固 数学思想是数学教学的精髓和灵魂 叶圣陶先 生说过 教育的真谛在于使学生把老师教给他的所 有知识全忘了 但却还有使他终生受用的东西 那 种教育才是最好的教育 这 终生受用的东西 即 为学科思想 数学教师若能深入理解教材 善于找 出教学内容中蕴涵的数学思想 并以数学思想的三 大特点 蕴涵性 过程性 活动性为依据来设计教 学过程 充分利用各种课型及 小专题 渗透 介绍和 突出数学思想 那么学生的数学思维能力必将得到 提升 进而发展和提高他们的数学能力和创新能力 参考文献参考文献 1 苏芸 高中学科思想方法研究 M 福建人民出版社 2014 一道代数证明题证法的探究 历程 一道代数证明题证法的探究 历程 经中进江苏省江浦高级中学 211800 数学学习离不开解题学习 数学教学离不开数学解题的教学 本文记录了笔者在函数一章复习课