专题5 万有引力定律与航天【高考导航】命题分析：本专题在高考考纲中主要考点有万有引力定律及其应用、环绕速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度、经典时空观和相对论时空观。天体运动问题是万有引力定律在匀速圆周运动模型中的典型应用，也是历年高考的必考点。一把以选择题形式出现，题型以三种题型出现：多个卫星绕同一中心天体运动的比较，不同中心天体的卫星的比较，估算天体的质量和密度。由于运动形式单一，故难度均中等偏下。万有引力定律在2011年高考中考查形式多样，比如2011年全国卷第19题考查嫦娥一号变轨前后的动能与重力势能的关系，2011年全国新课程卷第19题考查卫星电话信号传送时间问题，2011年山东卷第17题考查不同高度卫星的物理量的关系等。复习指导：1、掌握开普勒三大定律，理解三种宇宙速度。2、熟练运用匀速圆周运动的五大物理量之间的关系。3、掌握估算天体质量和密度的基本方法。4、理解卫星的轨道中各个物理量的定量与定性关系。【典例调研】重点1 对三个“宇宙速度”的理解【调研1】人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动。对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是A、近地点速度一定等于7.9km/sB、近地点速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC、近地点速度可以小于7.9km/sD、远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度【分析】第一宇宙速度是卫星在星球表面附近匀做速圆周运动时必须具有的线速度，而对于绕地球沿椭圆轨道运动的卫星，在近地点时的线速度与第一宇宙速度无关，可以大于第一宇宙速度，也可以小于第一宇宙速度（此时的“近地点”离地面的距离较大，不能看成是地面附近），故A、B项错误，C项正确。远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度，否则不可能被“拉向”地面，D项正确。【答案】CD【调研2】物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1与的关系是v2v1。已知某星球半径是地球半径R的三分之一，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的六分之一，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为A、B、C、D、【分析】根据第一宇宙速度的定义以及星球表面物体所受重力和万有引力相等，即mgm，v1，故该兴趣的第一宇宙速度v1，其第二宇宙速度为v2v1，选项C正确。【答案】C【通关必备】（1）第一宇宙速度第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，是所有做圆周运动的卫星中最大的线速度。理解第一宇宙速度，要抓住两个要点，一是“在星球表面附近”，卫星的轨迹半径r与星球的半径R相等；二是“匀速圆周运动”，卫星所受的向心力由万有引力提供，即Gm，故v1，又由于星球表面万有引力约等于重力，即Gmg，故v1。地球的第一宇宙速度约为v17.9km/s，月球的第一宇宙速度约为1.8km/s。第一宇宙速度也可以通过匀速圆周运动的最小速度来快速求取，若已知重力加速度g，则卫星在星球表面附近做匀速圆周运动的向心加速度也为g，由向心加速度公式g，即v1。（2）第二宇宙速度第二宇宙速度，是指在星球表面附近发射飞行器，使其克服该星球的引力永远离开该星球所需的最小速度，也是能绕该星球做椭圆运动的卫星在近地点的最大速度。地球的第二宇宙速度v11.2km/s。（3）第三宇宙速度，是指在星球表面附近发射飞行器，能够挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度。地球的第三宇宙速度v16.7km/s。（4）三种宇宙速度的对比以地球为例，三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示。当卫星在地面附近做圆周运动时，其运行速度即为第一宇宙速度7.9 km/s；当卫星到达地而附近时，其速度介于7.9 krn/s11.2km/s之间，则卫星沿椭圆轨道绕地球运动；当卫星到达地而附近时，其速度介于11.2krn/s16.7 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；当卫星到达地面附近时，其速度超过16.7km/s，则卫星能坛出太阳系成为太阳系外的卫星。三种宇宙速度是指发射的速度，而不是在轨道上的运行速度。重点2 跟踪天体运动五大物理量【调研3】按下表所给的数据，并已知引力常量，且认为所有行星的轨道都是圆轨道，结合力学规律可知下列结论正确的是行星名称行星质量m/千克公转周期T/年到太阳的平均距离R/106千米水星3.210230.257.9金星4.8810240.6108.2地球5.97910241.0149.6火星6.4210231.9227.9木星1.901102711.9778.3土星5.68102629.51427天王星8.68102584.02869海王星1.031026164.84486A、可求出太阳对地球的万有引力与太阳对火星的万有引力的比值B、可求出木星绕太阳运行的加速度C、可求出太阳的质量D、可求出地球的自转周期【分析】根据F万G，已知引力常量G，行星的质量、行星与太阳的距离R，可求取任意两个行星与太阳之间的万有引力比值，A对；mma向心，已知G、T、R可求取任意行星的向心加速度，B对；由Gm，已知G、R、T，可求取太阳的质量，C对；行星的运动是针对围绕太阳公转的，地球自转的周期需要以地球上的物体为研究对象才能求取，D错。【答案】ABC【调研4】（2011年全国大纲卷）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比 A、卫星动能增大，引力势能减小B、卫星动能增大，引力势能增大 C、卫星动能减小，引力势能减小D、卫星动能减小，引力势能增大【解析】本题实际上考查嫦娥一号在两个不同轨道上的速度、动能与引力势能等物理量的关系，要跟踪好嫦娥一号在哪个轨道上的哪些物理量。依题意可将“嫦娥一号”视为圆周运动，且质量变化可忽略不计，则变轨后，轨道更高，由卫星运动规律可知高轨道速度小，故变轨后动能变小，排除A、B选项；卫星发射越高，需要更多能量，由能量守恒定律可知高轨道的卫星能量大，而高轨道动能反而小，因此高轨道势能一定大（当然也可直接通过离地球越远引力势能越大来判断），D对。【答案】D【通关必备】描述天体运动的五大物理量之间的关系天体在做匀速圆周运动中有五大物理量：向心加速度a、线速度v、角速度、周期T、半径R，由于天体问题往往是单一星体之间的万有引力，故它们之间的关系可以用连等式表示：Gmamm2Rm。其中系列等式中m为环绕体的质量，所有的质量m均可以消掉。不同的卫星做匀速圆周运动的轨道半径不同，根据等式可得定量关系：a与r2成反比、v2与r成反比、2与r3成反比、T2与r3成正比；定性关系：轨道半径r大，向心加速度a小、线速度v小、角速度小、周期T大，即高轨道a、v、小，T大。重点3 卫星与赤道上物体的根本区别【调研5】已知地球和冥王星半径分别为r1、r2，公转半径分别为r1、r2，公转线速度分别为v1、v2，表面重力加速度分别为g1、g2，平均密度分别为1、2，地球第一宇宙速度为v1，飞船贴近冥王星表面环绕线速度为v2，则下列关系正确的是A、B、C、g1r12g2r22D、1r12v222r22v12【分析】由题意可知v1和v2分别为地球和冥王星的第一宇宙速度。根据第一宇宙速度的表达式v（其中g为星球表面的重力加速度，r为星球的半径），可知，B错；重力加速度g（其中r为公转半径），可得gr2GM日为定值，故g1r12g2r22，显然C错；由，可知v2与r成反比，故A对；根据星体密度公式（其中T为星球表面卫星运行的周期，r为星球半径），故为定值，故1r12v222r22v12，D对。【答案】AD【调研6】a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6106m的卫星，c是地球同步卫星。某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4106m，地球表面重力加速度g=10m/s2，=）abc甲乙abcabcabcabcA B C D【解析】b、c都是地球卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，c是地球同步卫星，c在a的正上方，对b有Gm()2(Rh)，Gmg，联立可得：T22104s，经48h，b转过的圈数n8.64，故选项B正确。【答案】B【通关必备】（1）卫星与地球上物体的向心力的区别卫星的向心力由万有引力提供，而地球上的物体随着地球一起自转做匀速圆周运动时向心力由万有引力及地面的支持力两者共同提供。对卫星由万有引力定律及向心力公式：Gmamm2Rm，显然高轨道周期大，向心加速度小、线速度小、角速度小。对地球上的物体则不能应用上面的连等式，原因是卫星只受到一个万有引力，而地球上物体受到的力多处了一个支持力。一般来说，考虑到地球自转时向心加速度很小，故认为地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即认为重力和支持力平衡。实际上要考虑到这个微小差别的话，地球上纬度越高的地方重力加速度越大，即赤道上重力加速度要略小于两极的重力加速度。（2）灵活巧妙地应用黄金代换式GMgR2对于近地卫星，在星球表面附近，卫星受到重力等于万有引力，即mgG，故GMgR2。星球质量未知时常常用这个式子来估算。黄金代换式中还存在GM这个公用物理量，即使引力常量G与中心天体的质量均未知的情况下，其乘积可通过gR2求取，即题干给出重力加速度g和星球的半径R是非常重要的敏感物理量。（3）记忆常用的天文数据达到解题捷径地球公转周期为1年，地球自转周期为24小时，月球公转和自转周期均为27天，地球半径为6400公里，表面重力加速度g9.8m/s2。地球自转线速度约为500m/s，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，同步卫星线速度约为3km/s，轨道半径约为6.5倍地球半径。地球上物体转动一圈24小时，近地卫星转一圈月1.5小时，同步卫星转一圈24小时。重点4 估测天体质量和密度的秘笈【调研7】【2011年高考安徽卷第22题】【分析】试题提到开普勒定律中的恒量，而开普勒定律中有周期的平方，这对于加速度公式中只有Gm这个公式可以使用。估算天体质量时，要找两个物理量，显然题中给了圆周运动的半径和周期。【规范解答】（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有 _ 于是有 即 （2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由式可得 _ 解得 M地=_ 【答案提示】；;61024kg（M地=51024kg也算对）。【调研8】某质量分布均匀