1 1 2弧度制和弧度制与角度制的换算 第一章 1 1任意角的概念与弧度制 学习目标1 理解角度制与弧度制的概念 能对弧度和角度进行正确地转换 2 体会引入弧度制的必要性 建立角的集合与实数集一一对应关系 3 掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一角度制与弧度制 在初中几何研究过角的度量 当时是使用角度制来度量角的 那么1 的角是如何规定的 答案 答案把圆周360等分 则其中1份所对的圆心角是1 的角 思考2 在弧度制中 1弧度的角是如何规定的 答案长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 答案 答案 1弧度的角 的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角 是一个定值 与所在圆的半径大小无关 思考3 1弧度的角 的大小和所在圆的半径大小有关系吗 1 角度制 定义 用作单位来度量角的制度 1度的角 把圆周等分 则其中1份所对的圆心角是1度 2 弧度制 定义 以为单位来度量角的制度 1弧度的角 长度等于的圆弧所对的圆心角 弧度数的计算公式 在半径为r的圆中 弧长为l的弧所对的圆心角为 rad 则 梳理 度 360 弧度 半径长 思考 知识点二角度制与弧度制的换算 角度制和弧度制都是度量角的单位制 它们之间如何进行换算呢 答案 梳理 1 角度与弧度的互化 2 0 01745 360 180 57 30 2 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 45 90 135 270 0 思考 知识点三扇形的弧长及面积公式 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示 答案 答案设扇形的半径为r 弧长为l 为其圆心角 则 题型探究 解答 类型一角度与弧度的互化 例1将下列角度与弧度进行互化 1 20 2 15 解答 反思与感悟 将角度转化为弧度时 要把带有分 秒的部分化为度之后 牢记 rad 180 即可求解 把弧度转化为角度时 直接用弧度数乘以 即可 跟踪训练1 1 把112 30 化成弧度 解答 例2已知角 2010 1 将 改写成 2k k Z 0 2 的形式 并指出 是第几象限的角 类型二用弧度制表示终边相同的角 解答 解答 2 在区间 5 0 上找出与 终边相同的角 又 5 0 反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k k Z 时 其中2k 是 的偶数倍 而不是整数倍 还要注意角度制与弧度制不能混用 解答 跟踪训练2 1 把 1480 写成 2k k Z 的形式 其中0 2 2 在 0 720 内找出与角终边相同的角 解答 当k 0时 72 当k 1时 432 类型三扇形的弧长及面积公式的应用 答案 解析 答案 解析 2 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4 那么这个圆心角所对的弧长为 解析连接圆心与弦的中点 则以弦心距 弦长的一半 半径长为长度的线段构成一个直角三角形 半弦长为2 反思与感悟 联系半径 弧长和圆心角的有两个公式 一是S 二是l r 如果已知其中两个 就可以求出另一个 求解时应注意先把度化为弧度 再计算 解答 跟踪训练3一个扇形的面积为1 周长为4 求圆心角的弧度数 即扇形的圆心角为2rad 解设扇形的半径为R 弧长为l 则2R l 4 当堂训练 1 下列说法中 错误的是A 度 与 弧度 是度量角的两种不同的度量单位B 1 的角是周角的 1rad的角是周角的C 1rad的角比1 的角要大D 用角度制和弧度制度量角 都与圆的半径有关 答案 2 3 4 5 1 解析 解析根据1度 1弧度的定义可知只有D是错误的 故选D 2 时针经过一小时 转过了 答案 2 3 4 5 1 解析时针经过一小时 转过 30 解析 3 若 5 则角 的终边在A 第四象限B 第三象限C 第二象限D 第一象限 答案 2 3 4 5 1 解析 解析2 5与 5的终边相同 2 5是第一象限角 则 5也是第一象限角 4 已知扇形的周长是6cm 面积是2cm2 则扇形圆心角的弧度数是A 1B 4C 1或4D 2或4 答案 2 3 4 5 1 解析设扇形半径为r 圆心角的弧度数为 解析 5 已知 O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长 则从OA顺时针旋转到OE所形成的角 的弧度数是 答案 解析 解析设 O的半径为r 其内接正三角形为 ABC 如图所示 D为AB边中点 AO r OAD 30 又 是负角 2 3 4 5 1 规律与方法 1 角的概念推广后 在弧度制下 角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系 每一个角都有唯一的一个实数 即这个角的弧度数 与它对应 反过来 每一个实数也都有唯一的一个角 即弧度数等于这个实数的角 与它对应 2 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用 180 rad 这一关系式 易知 度数 弧度数 弧度数 度数 3 在弧度制下 扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化 在具体应用时 要注意角的单位取弧度 本课结束