第一章数列 2 2等差数列的前n项和 一 1 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路 2 经历公式的推导过程 体验从特殊到一般的研究方法 学会观察 归纳 反思 3 熟练掌握等差数列的五个量a1 d n an Sn的关系 能够由其中三个求另外两个 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等差数列前n项和公式的推导 高斯用1 2 3 100 1 100 2 99 50 51 101 50迅速求出了等差数列前100项的和 但如果是求1 2 3 n 不知道共有奇数项还是偶数项怎么办 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对 但我们可以采用倒序相加来回避这个问题 设Sn 1 2 3 n 1 n 又Sn n n 1 n 2 2 1 2Sn 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 2Sn n n 1 Sn 倒序相加法 可以推广到一般等差数列求前n项和 其方法如下 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1 d a1 2d a1 n 2 d a1 n 1 d Sn an an 1 an 2 a2 a1 an an d an 2d an n 2 d an n 1 d 两式相加 得2Sn n a1 an 由此可得等差数列 an 的前n项和公式Sn 根据等差数列的通项公式an a1 n 1 d 代入上式可得Sn na1 梳理 知识点二等差数列前n项和公式的特征 思考1 等差数列 an 中 若已知a2 7 能求出前3项和S3吗 答案 思考2 答案 我们对等差数列的通项公式变形 an a1 n 1 d dn a1 d 分析出通项公式与一次函数的关系 你能类比这个思路分析一下Sn na1 d吗 梳理 等差数列 an 的前n项和Sn 有下面几种常见变形 知识点三等差数列前n项和公式的性质 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a4 a1 a5 a2 a6 a3 3d 3d 3d 9d 同样 a7 a8 a9 a4 a5 a6 9d a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9是公差为9d的等差数列 思考 若 an 是公差为d的等差数列 那么a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9是等差数列吗 如果是 公差是多少 答案 梳理 等差数列的前n项和常用性质 1 Sm S2m S3m分别为等差数列 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则Sm S2m Sm S3m S2m也成等差数列 公差为m2d 2 项的个数的 奇偶 性质 an 为等差数列 公差为d 设S奇为前n项中序号为奇数的项之和 S偶为前n项中序号为偶数的项之和 题型探究 命题角度1根据条件选择公式求和例1等差数列 an 中 公差为d Sn为前n项和 1 a1 3 d 2 求S10 解答 类型一求和 2 a1 105 an 994 d 7 求Sn 解答 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 答案 解析 27 2 等差数列 an 中 a4 a7 0 则前10项的和为 答案 解析 0 命题角度2实际问题求和例2某人用分期付款的方式购买一件家电 价格为1150元 购买当天先付150元 以后每月的这一天都交付50元 并加付欠款利息 月利率为1 若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月 则分期付款的第10个月该交付多少钱 全部贷款付清后 买这件家电实际花费多少钱 解答 设每次交款数额依次为a1 a2 a20 则a1 50 1000 1 60 元 a2 50 1000 50 1 59 5 元 a10 50 1000 9 50 1 55 5 元 即第10个月应付款55 5元 由于 an 是以60为首项 以 0 5为公差的等差数列 反思与感悟 建立等差数列的模型时 要根据题意找准首项 公差和项数或者首项 末项和项数 本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解 跟踪训练2植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树 每人植树一棵 相邻两棵树相距10米 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 此最小值为 米 答案 解析 2000 假设20位同学是1号到20号依次排列 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 则树苗需放在第10或第11号树坑旁 此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项 20为公差的等差数列 故所有同学往返的总路程为 类型二等差数列前n项和公式的应用 例3已知一个等差数列 an 前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗 解答 方法一由题意知S10 310 S20 1220 反思与感悟 1 在解决与等差数列前n项和有关的问题时 要注意方程思想和整体思想的运用 2 构成等差数列前n项和公式的元素有a1 d n an Sn 知其三能求其二 跟踪训练3在等差数列 an 中 已知d 2 an 11 Sn 35 求a1和n 解答 类型三等差数列前n项和性质的应用 例4 1 等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 求数列 an 的前3m项的和S3m 解答 方法一在等差数列中 Sm S2m Sm S3m S2m成等差数列 30 70 S3m 100成等差数列 2 70 30 S3m 100 S3m 210 解答 反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中 如果运用得当可以达到化繁为简 化难为易 事半功倍的效果 跟踪训练4设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列的前n项和 求Tn 解答 当堂训练 1 在等差数列 an 中 若S10 120 则a1 a10的值是A 12B 24C 36D 48 答案 解析 1 2 3 4 答案 解析 2 记等差数列的前n项和为Sn 若S2 4 S4 20 则该数列的公差d等于A 2B 3C 6D 7 解得d 3 方法二由S4 S2 a3 a4 a1 2d a2 2d S2 4d 所以20 4 4 4d 解得d 3 1 2 3 4 答案 解析 3 在一个等差数列中 已知a10 10 则S19 190 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 2 a1 1 an 512 Sn 1022 求d 1 2 3 4 规律与方法 1 求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法 在某些数列求和中也可能用到 2 等差数列的两个求和公式中 一共涉及a1 an Sn n d五个量 若已知其中三个量 通过方程思想可求另外两个量 在利用求和公式时 要注意整体思想的应用 注意下面结论的运用 若m n p q 则an am ap aq n m p q N 若m n 2p 则an am 2ap 3 本节基本思想 方程思想 函数思想 整体思想 分类讨论思想 本课结束